$(x-2)^{10}$ - Étude de variation.
Hello, je change un peu de domaine ce soir je fais une pause avec les complexes.
Je dois étudier les variations de la fonction $(x-2)^{10}$.
Enfin je dois l'expliquer à quelqu'un de terminale.
Je me dis que la dérivée est $10(x-2)^9$ Mais je ne vois pas comment trouver les zéros de la fonction. Le puissance 9 me dérange un peu. Que me conseillez vous ?
Je vous remercie !
Lucas.
PS. Cette fonction est définie sur $\mathbb R$.
Je dois étudier les variations de la fonction $(x-2)^{10}$.
Enfin je dois l'expliquer à quelqu'un de terminale.
Je me dis que la dérivée est $10(x-2)^9$ Mais je ne vois pas comment trouver les zéros de la fonction. Le puissance 9 me dérange un peu. Que me conseillez vous ?
Je vous remercie !
Lucas.
PS. Cette fonction est définie sur $\mathbb R$.
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Réponses
Pour moi la fonction dérivée s'annule en 2 x = 2.
Donc c'est négatif puis positif. Donc la fonction est décroissante puis croissante.
(après avoir regardé l'allure de la courbe sur sa calculette graphique )
Quels que soient les nombres $x \ge 2$ et $y\ge 2$ , si $x<y$, alors $(x-2) < (y-2)$
en multipliant cette égalité entre nombres positifs par elle même on obtient $(x-2)^{10}<(y-2)^{10}$ (*)
Donc la fonction est strictement croissante sur $[2;+\infty[$.
Quels que soient les nombres $x \le 2$ et $y\le 2$ , si $x<y$, alors $(x-2) < (y-2)$
En multipliant par -1 les deux membres : $-(x-2) > -(y-2)$
en multipliant cette égalité entre nombres positifs par elle même on obtient $(x-2)^{10}>(y-2)^{10}$ (*)
A noter que les signes - s'éliminent deux à deux.
Donc la fonction est strictement décroissante sur $]-\infty, 2]$.
Bien évidemment, l'usage de la dérivée est nettement plus rapide. On peut justifier le signe en remarquant que $(x-2)^9$ est du signe de $x-2$
Cordialement.
(*) On peut, pour un élève de seconde, écrire les 10 inégalités identiques qu'on multiplie.
$\bullet$ connaisse le graphe des fonctions de la forme $x\mapsto x^n$ pour $n\geq 2$ ;
$\bullet$ ait compris comment on détermine le graphe d'une fonction de la forme $x \mapsto f(x-a)$ à partir du graphe de $f$.