Application du théo de convergence dominée

lanchois · November 2017

Bonjour à vous
J'ai un petit problème pour appliquer le théorème de convergence dominée à la suite $$\int_{0}^{+\infty} \big(\sin(t)\big)^{n}h'(t)\text{d}t $$ où on sait que $h'$ est continue sur $[0,+\infty[$ et intégrable.
Mon problème est au niveau de la convergence simple. Le théorème usuellement donné nous dit qu'on doit avoir comme hypothèse $f_{n}$, ici $t \mapsto \big(\sin(t)\big)^{n}h'(t)$ qui converge simplement sur $I=[0,+\infty[$ vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$.
Or ma fonction $f$, nulle sauf en $ \frac{\pi}{2} \ [\pi]$, n'est pas définie sur $I$ (pas de limite en $-\frac{\pi}{2} \ [2\pi]$).
Je sais bien que ce n'est pas quelques points isolés qui vont changer la nature du résultat mais comment le rédiger proprement ?
Merci d'avance.

gebrane · November 2017

Tu peux dire que $-1<sin(t)<1$ presque partout t, donc $f_n(t)$ converge vers 0 presque partout t

lanchois · November 2017

Il s'agit de faire une réponse niveau bac+2 et on a pas de "presque partout" en MP malheureusement.

gebrane · November 2017

Rappelle moi ta version de ce théorème de convergence dominé ( ce théorème, on le voit en intégration de Lebesgue donc les pp un passage obligé dans la théorie de la mesure)

aléa · November 2017

Tu peux choisir une réunion $I_n$ d'intervalles contenant les méchants points tels que $\int_{I_n} |f'|\le \epsilon$, d'où une majoration uniforme; et sur $R_+$ privé de $I_n$, tout va bien et tu y appliques cvd.

Math Coss · November 2017

C'est une très mauvaise idée d'appeler $f$ la limite de la suite $(f_n)$ quand il y a déjà une fonction $f$ dans l'intégrale.

Pour tout $n$, l'intégrale à étudier est la même que celle de la fonction
\[g_n:t\mapsto\begin{cases}\sin^n(t)\,f'(t)&\text{si $t\not\equiv\frac\pi2\ [\pi]$}\\0&\text{si $t\equiv\frac\pi2\ [\pi]$}\end{cases}\]et $(g_n)$ converge simplement vers $0$ partout. En revanche, pour la domination, il faut supposer que la fonction $|f'|$ est intégrable, ce qui ne va pas de soi (n'est pas vrai en général).

lanchois · November 2017

@Math coss : j'ai édité mon message de départ en remplaçant f' par h'. Désolé c'est vrai qu'il y avait un souci. En revanche, cela me gêne de dire, sans plus de commentaire, que l'intégrale à étudier revient à étudier celle de $g_{n}$.

@alea : je crois que c'est ce qu'il me faut.

merci à vous tous

gebrane · November 2017

Il faut que tu réédites ton message : écrire que |h'| est intégrable
J'aimerais bien voir ta rédaction de l'idée de aléa

Archimède · November 2017

Par $h'$ intégrable sur $[0,+\infty[$, doit-on comprendre qu'elle est convergente ou qu'elle est absolument convergente ?

lanchois · November 2017

@Archimède et @gebrane : dans les programmes actuels de prépa, intégrable, signifie absolument convergente.

lanchois · November 2017

Pour ceux que cela intéressent, c'est un exo qui est tombé à l'oral de X dont voici l'énoncé :
Soit $f \colon R^{+} \to R$ de classe $C^1$ intégrable ainsi que sa dérivée.
Déterminer pour $x>0$ la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $$ \int_{0}^{+\infty}n\cos(t) \big(\sin(t)\big)^nf(xt)\text{d}t$$

Math Coss · November 2017

Il est connu que si on modifie la valeur d'une fonction en un nombre fini de points, son intégrale ne change pas (non ? alors c'est un problème !). Pour un intervalle non borné, on peut prendre l'intégrale sur $[0,X]$, appliquer le constat précédent et faire tendre $X$ vers l'infini.

lanchois · November 2017

@ gebrane il faut que je parte bosser, dès que j'ai un peu de temps j'essaye de rédiger un truc

gebrane · November 2017

Math Coss écrivait:

> Il est connu que si on modifie la valeur d'une
> fonction en un nombre fini de points, son
> intégrale ne change pas

Tu voulais dire sur un ensemble dénombrable ( en regardant ton g_n) ?