contre exemple, exercice de limites
bonjour, soit l'exercice suivant :
soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x$, la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $f(nx)$ vaut 0.
si $f$ est supposée u-continue sur $\mathbb{R}$, alors on montre que $f$ a pour limite 0 en $+\infty$
mais si on ne suppose pas cela, je n'arrive pas à trouver de contre exemple
j'imagine une sorte de fonction avec des bosses de plus en plus hautes mais espacées irrégulièrement..
auriez vous une idée ?
soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x$, la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $f(nx)$ vaut 0.
si $f$ est supposée u-continue sur $\mathbb{R}$, alors on montre que $f$ a pour limite 0 en $+\infty$
mais si on ne suppose pas cela, je n'arrive pas à trouver de contre exemple
j'imagine une sorte de fonction avec des bosses de plus en plus hautes mais espacées irrégulièrement..
auriez vous une idée ?
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Réponses
Par exemple :
https://math.stackexchange.com/questions/818811/f-mathbb-r-to-mathbb-r-is-continuous-and-lim-n-to-infty-fnx-0-for-al
https://books.google.fr/books?id=VwrlnZ6QyHgC&pg=PA488&lpg=PA488&dq=croft+lemma&source=bl&ots=6ErtXOp_O5&sig=aYnReFYpTYWy1V-Dv0NtQAsg6Uk&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwikkLv74LTXAhWP2aQKHS0VAxwQ6AEIVjAH#v=onepage&q=croft lemma&f=false
Il me semble que tu ne pourras pas trouver de contre-exemple avec $f$ continue : la démonstration de "la limite de $f$ est nulle lorsque $f$ est continue" n'est pas simple et utilise le théorème de Baire.
En revanche, pour $f$ non continue, tu peux considérer $P=\{(1+\sqrt2)^k,\;k\in\N^*\}$ et $f$ définie par $\forall x\in P,\; f(x)=1;\;\forall x\in\R_+^*\setminus P,\;f(x)=0$.
Tu montres alors que pour $x>0$ il y a au plus un entier $k$ tel que $kx\in P$ etc...
.........................
Une suite à cet exercice : on suppose que $\forall x\in\R_+^*,\;n\mapsto f(nx)$ converge vers $\ell(x)$ et $f$ continue sur $\R_+^*$. Montrer que $\ell$ est constante et $f$ a une limite en $+\infty$.
Rakam, je viens de voir ta réponse et je vais m'y pencher
Chaurien, j'ai vu le lien que tu indiquais, je l'ai cité dans mes notes personnelles où j'ai mis cette preuve.
http://mathoscope.ouvaton.org/mathoscope_xyz/Prepa/continuiteR_R/u_continuite.xhtml (ou ici en pdf)
http://mathoscope.ouvaton.org/mathoscope_xyz/Prepa/distributeur.php?mot=continuiteR_R