Stone-Weierstrass et Brouwer

(:P)car $((1-t)I + t\nabla f)_{i,j}$ est un polynôme de degré $\leq 1$ en $t$ pour tout $i,j$

Bonjour YousAK,

je ne sais pas si tu t'intéresses au théorème de Brouwer lui-même et si différentes preuves ou si c'est en passant sur le cours d'analyse différentielle que tu mets en lien que tu es tombé dessus.

A toute fin utile, il y a de nombreuses preuves célèbres de ce théorème, dont certaines, bien qu'utilisant des ingrédients ad hoc, n'utilisent pas de notion poussée d'analyse (ici théorie de l'intégration). Je n'en connais pas de directe.

Ma préférée est celle qui consiste à prouver le lemme suivant. Le théorème de Brouwer en est une conséquence facile.

Lemme: soient $n,p$ des entiers et on pose $J=\{0;1;2;...;p\}$. Soit $\phi$ une application de $J^n$ dans $\{1;2;3;...;n\}$. Il existe alors un élément $e\in \{1;2;3;...;n\}$ et un chemin $C$ entièrement inclus dans $\phi^{-1}(e) = \{x\in J^n\mid \phi(x)=e\}$ qui "traverse l'échiquier" dans le sens que pour tout $i\in J$, il existe un $x\in C$ tel que $x_e = i$.

Pour parler de chemin, il faut parler de graphe, ici le graphe $J^n$ est le graphe non orienté et simple où deux éléments $x,y$ sont dits voisins quand $\forall i\in \{1;2;3;...;n\}: |x_i-y_i|\leq 1$

Précision: je ne saurais pas te mettre de lien internet vers une preuve de ce lemme, sinon je l'aurais fait. Avis aux lecteurs!

cordialement,
Talal

regarde ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,69793,69901
Bonne lecture.

Bah tout est dit dans le document : "il existe une application polynomiale telle que ..." La seule hypothèse est la compacité de $\overline{B}^n$. C'est quand même grave de faire de l'analyse en M2 sans connaître ce théorème important !

Bonjour YousAK,

est-ce que ce qui te gêne, c'est le fait que l'ensemble d'arrivée ne soit pas $\R$, mais $\R^n$?

Bonne soirée,
Talal

Je pense que cela devrait t'aider pour ta densité.

Quelle est la définition d'une application polynomiale à valeur dans $\mathbb{R}^m$?

Il suffit alors d'appliquer Stone-Weierstrass sur chacune des composantes de ta fonction