Projections spectrales

Bonjour,

Il y a plusieurs choses que je ne comprends pas avec les projections spectrales, voici deux questions. D'abord je donne le cadre, soit $H$ un espace de Hilbert, et $(T,D(T))$ un opérateur autoadjoint (pas nécessairement borné) sur $H$ de domaine $D(T)$. Alors le calcul fonctionnel continu (et borélien) permet la construction des projections spectrales $\pi _{\Omega}(T)$ avec $\Omega \subset \mathbb{R}$.

1. Comment montrer pour $\phi \in Im(\pi_{]-\infty,a[}(T))$ que $\langle \phi , T\phi \rangle \leq a \|\phi \|^2$.

2. Cette fois ci considérons $\lambda \in \sigma _{disc}(T)$, le spectre discret de $T$. Alors il existe un $\epsilon _0$ tel que pour $\epsilon \in ]0,\epsilon _0[$ $\dim Im (\pi _{]\lambda - \epsilon, \lambda + \epsilon[}(T)) < + \infty$. Comment en déduit-on qu'il existe $\epsilon _1 \leq \epsilon _0$ tel que $\pi _{]\lambda - \epsilon, \lambda + \epsilon[}(T)$ est indépendant de $0< \epsilon < \varepsilon_1$ ?

Je suis surtout intéressé par la première question, pour la deuxième je pense que cela doit venir du fait que quand on diminue $\varepsilon$ on perd de la dimension, et vu qu'elle est finie, on doit stagner à partir d'un certain moment.

Bien sûr ces questions ne sont pas insurmontables j'imagine, et sans doute proche des définitions des projections spectrales mais je ne sais pas comment y répondre.

Merci d'avance.