Linéarité d'une intégrale

Errys · November 2017

Bonjour, tout d'abord, je tiens à préciser que c'est mon premier post sur ce forum donc n'hésitez pas à me prévenir si j'ai fait quelque chose de mal.

Je dois, pour un exercice de découverte des intégrales, démontrer la linéarité de l'intégrale pour une fonction linéaire (je suis en TS).

Je ne vois pas vraiment où commencer, j'imagine que ça a quelque chose à faire avec la monotonie de la fonction mais je ne suis pas sûr du tout.

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner des pistes pour cette démonstration ? Merci d'avance.

EDIT. J'ai aussi essayé de trouver la formule pour une fonction de la forme f(x) = mx + p puis montrer que k * integrale(a, b) f(t)dt est égale à l'intégral de g(x) = kf(x). Mais il y a beaucoup de cas possible et je pense qu'il y a une démonstration plus élégante .

Magnolia · November 2017

Bonjour

Je suppose que tu parles de fonctions de $\R$ dans $\R$. Une fonction linéaire est de la forme $f(x)=mx$. Tu en prends deux et tu montres en calculant les deux membres que $$\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$$
Tu procèdes de maniére analogue pour montrer que $$\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)$$

Errys · November 2017

Merci beaucoup je n'avais pas pensé à procéder de cette manière.

Magnolia · November 2017

Mettons que c'est la méthode pour débutants. Tu verras de meilleures méthodes plus tard... parce que la linéarité de l'intégrale est vraie pour n'importe quelles fonctions (continues).

Fin de partie · November 2017

On sait trouver une primitive aux fonctions de la forme: $f(x)=ax$ donc on sait calculer toute intégrale de ces fonctions sur un intervalle $[\alpha,\beta]$.

Par ailleurs, l'opération de dérivation est linéaire (la dérivée d'une somme de fonctions dérivables sur un intervalle est la somme....)

Donc si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur l'intervalle $[\alpha,\beta]$ quelle peut-être une primitive de la fonction $f+g$?, de la fonction $kf$, $k$ un réel?

Errys · November 2017

Bonjour, on n'as pas encore vu les primitives ni les intégrales en cours donc je ne pense pas que l'on est censé le faire comme ca.

Mais pour répondre à ta question: la primitive de la fonction f + g est simplement F + G non?
Et la primitive de la fonction kf est aussi kF.

Fin de partie · November 2017

Errys a écrit:

Mais pour répondre à ta question: la primitive de la fonction f + g est simplement F + G non?
Et la primitive de la fonction kf est aussi kF.

Tu remplaces LA par UNE et tu as raison en effet.
(Une fonction continue sur un intervalle a plusieurs primitives qui diffèrent d'une constante.)

J'imagine qu'on t'a présenté l'intégrale d'une fonction f définie, continue et positive sur un intervalle $[a,b]$ comme étant l'aire sous la courbe de f.

Dès lors, si $f(x)=kx$ avec $k>0$ il n'est pas difficile de calculer $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$ si $b>a\geq 0$ sans rien connaître de la notion de primitive (faire un dessin).