Suite et complexes
Bonjour,
J'ai un travail à effectuer avec plusieurs exercices dont l'un porte sur les suites et les complexes.
J'ai réussi les deux premières questions puis je bloque.
Voici l'énoncé :
On considère la suite (un) définie dans C par u0=1 et un+1=i un.
1)Calculer u1, u2, u3 et u4.
2)a)Quelle est la nature de la suite (un) ?
b)Exprimer un en fonction de n.
c)Montrer que si n est multiple de 4 alors un=1.
Indication : Un entier n multiple de 4 s'écrit sous la forme n=4k avec k entier.
3)On considère la somme S=1+i²+13+...+i2015. Calculer S.
Je n'arrive pas l'exercice à partir de la question 2)b).
Merci d'avance,
Noé
J'ai un travail à effectuer avec plusieurs exercices dont l'un porte sur les suites et les complexes.
J'ai réussi les deux premières questions puis je bloque.
Voici l'énoncé :
On considère la suite (un) définie dans C par u0=1 et un+1=i un.
1)Calculer u1, u2, u3 et u4.
2)a)Quelle est la nature de la suite (un) ?
b)Exprimer un en fonction de n.
c)Montrer que si n est multiple de 4 alors un=1.
Indication : Un entier n multiple de 4 s'écrit sous la forme n=4k avec k entier.
3)On considère la somme S=1+i²+13+...+i2015. Calculer S.
Je n'arrive pas l'exercice à partir de la question 2)b).
Merci d'avance,
Noé
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Réponses
Je ne comprends pas réellement votre question.
Ma question est connais tu la formule générale pour calculer le terme $u_n$ d'une suite géométrique en fonction de la raison $q$ et de premier terme $u_0$, et de $n$ bien sur?
Sinon je pense que c'est dans ton cours, et si vraiment tu sais pas je te donne la formule
Pour la suite? Qu'as tu essayé?
un = in = i4k = (i4)k
i4 = i*i*i*i = i² * i² = (-1) * (-1) =1
mais je ne sais pas comment faire après ...
un = in = i4k = (i4)k = (i*i*i*i)k = (i² * i²)k = ((-1) * (-1))k =1k =1 ?
Je te conseille de calculer la somme des $4$ premiers termes pour commencer.
u1=i
u2=i2
u3=i3
u4=i4
Cf. ceci. Probablement le même initiateur.
Cordialement,
Thierry
Déjà je retire ce que j'ai dit les 4 premiers termes de la somme c'est pas ça. Commence par les trouver et calculer leur somme à la main.
u1=i*1=i
u2=i*i=i2
u3=i*i2=i3
u4=ui*i3=i4 ?
Après, je ne sais pas vraiment comment les additionner ?
1+i+i²+i3=i6
Dans la question 1), tu as calculé les 5 premiers termes. Utilise ces valeurs.
1-qn+1/1-q, soit 1-in+1/1-i et après ?!
Donc , on a : (1-in+1)/(1-i)=(1-i2015+1)/(1-i) = (1-i2016)/(1-i)
Doit-on faire la quantité conjuguée après ?
Il faut également simplifier $i^{2016}$, sachant que $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, etc.
i2016=1 ??
(1-1)/(1-i) ?
Essayons de le voir différemment en termes de vecteurs dans le plan, disons dans le réseau carré dessiné ci-dessous. On part de $(0,0)$. Ajouter $i^0=1$, c'est se déplacer d'une case vers la droite ; ajouter $i$, c'est se déplacer d'une case vers le haut ; ajouter $i^2=-1$, c'est se déplacer d'une case vers la gauche ; enfin, ajouter $i^3=-i$, c'est se déplacer d'une case vers le bas. Quel est le résultat de ces déplacements ? Si on ajoute $i^4=1$, $i^5=i$, $i^6=-1$, $i^7=-i$, où se retrouve-t-on ? Et ainsi de suite jusqu'à $2016$, qui a le bon goût d'être un multiple de $4$. Il n'y a pas de miracle là-dessous.
(Cinq heures après ce message, on a avancé mais on ne peut pas dire que ce soit très rapide. Heureusement que ce n'est pas un devoir en temps limité !)