Bonjour à tous !
On a l'équivalence : de E est un Banach et $ \sum \left\lVert x\right\rVert < \infty \Rightarrow \sum x_n < \infty $.
Auriez-vous un contre exemple de ça un e.v.n qui n'est pas un Banach ? Dans un espace de fonctions ?
Merci d'avance !
Réponses
Maintenant des espaces qui ne sont pas des Banach y'en a autant que tu veux, à commencer par $\Q$ (avec la métrique usuelle, i.e. la valeur absolue).
Si $\Q$ était complet on n'aurait pas créé $\R$ :-P
Bon après j'adore démonter des propositions avec des contre-exemples triviaux :-D
En plus c'est un résultat que je ne sais pas prouver (et il est bien connu qu'un résultat est trivial si et seulement si je sais le prouver :-D).
Dans le titre il est question d'un espace de Banach. C'est un espace vectoriel normé, donc un espace vectoriel sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, ce que n'est pas $\mathbb Q$, lequel ne devrait donc pas paraître dans ce fil.
Histoire de ne pas re-créer un sujet, j'aimerai démontrer une proposition de recouvrement mais je n'y arrive pas :
Soit A une partie bornée de $ \mathbb{R} $ recouverte par des intervalles ouverts $I_x$. Alors on peut recouvrir A par un nombre dénombrable de $I_x $ tels que les $ \frac{I_x}{5} $ soient disjoints.
Pour me rattraper, un vrai e.v.n. non complet : $C^1([0,1])$ avec la norme de la convergence uniforme.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Pour ta question totzen ça ressemble à certaines versions du lemme de Vitali mais faudrait que je regarde plus attentivement.
En effet, je viens de découvrir ça. Une base de Hamel à l'anglo-saxonne ce serait ce que nous appelons tout simplement une base.
http://www-dimat.unipv.it/giulio/linkedmaterial/af/notaHamel.pdf
Mais je n'ai pas l'impression que ce soit une terminologie universelle. Jusqu'à ce jour je ne m'en étais pas aperçu, et pourtant je pratique les maths en anglais depuis environ quarante ans.
Pour nous braves petits soldats français du général Bourbaki, une base de Hamel c'est ce que j'ai dit.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Si $E$ n'est pas complet, il existe une suite spéciale de Cauchy (suite vérifiant $\lVert u_{n+1}-u_n\rVert\leqslant2^{-n}$) qui est divergente$^*$.
La série $\sum v_n$ telle que $v_0=0,\;\forall n\in\N,\;v_{n+1}=u_{n+1}-u_n$ est absolument convergente mais divergente dans $E$.
$^*$ On montre en effet qu'on peut extraire une suite spéciale de toute suite de Cauchy.
On peut faire un sujet avec la série entière définissant $f : x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ sur le bon disque.
En prenant la même série mais avec la valeur absolue du terme général, on obtient $g : x\mapsto \sqrt{1+x^2}$, sauf erreur, ou au signe près...
Ensuite on cherche un rationnelle $r$ qui renvoie une image rationnelle pour $g$ mais pas pour $f$.
Cela donne un « contre-exemple pour $\mathbb Q$ » mais comme dit plus haut qui n'est pas un vrai contre-exemple car on parle d'e.v.n. . (disussion qui d'ailleurs a déjà eu lieu dans le passé)
Si tu prends une suite de Cauchy $(u_n)_n$, on peut construire une sous-suite $(v_n)_n$ telle que $\|v_{n+1}-v_n \| \leq \frac{1}{2^{n+1}}$. Alors la série $\sum (v_{n+1}-v_n )$ est absolument convergente et donc convergente ; ainsi la suite $(v_n)_n$ converge, ce qui prouve que $(u_n)_n$ a une valeur d'adhérence et est de Cauchy donc converge.
Ainsi lorsque l'espace n'est pas complet, si tu prend n'importe quelle suite de Cauchy non convergente, il existe une de ses sous-suites $(v_n)_n$ telle que la série $\sum (v_{n+1}-v_n )$ soit AC mais non convergente