conseil rédaction formule de la chaîne

Bonjour
Juste un petit conseil afin d'avoir une rédaction nickel sur un exercice simple du cours.
\begin{align*}
f(x,y)&=\exp(x^2+y^2)\\
u(t)&=a\cos(t)\\
v(t)&=a\sin(t)\\
z(t)&=f\big(u(t),v(t)\big)
\end{align*}
Est-ce que je peux rédiger ainsi :
\begin{align*}
D_1f(x,y)&=2x\exp(x^2+y^2) \\
D_2f(x,y)&=2y\exp(x^2+y^2)
\end{align*}
Si l'on compose ($x=a\cos(t)$ et $y=a\sin(t)$) on obtient
\begin{align*}
D_1f(x,y)&=2a\cos(t)\exp\big(a^2\cos^2(t)+a^2\sin^2(t)\big)=2a\cos(t)\exp\big(a^2(\cos^2(t)+\sin^2(t))\big) \\
&=2a\cos(t)\exp(a^2) \\
D_2f(x,y)&=2a\sin(t)\exp(a^2)
\end{align*}
d'où d'après la formule de la chaîne
comme $u'(t)=-a\sin(t)$ et $v'(t)=a\cos(t)$ $$
z'(t)=2a\cos(t)\exp(a^2)\big(-a\sin(t)\big)+2a\sin(t)\exp(a^2)\big(a\cos(t)\big)=0
$$ Par avance merci pour vos critiques.
Pascal