Fonction périodique qui ne se décompose pas

anthomedal · November 2017

Bonjour,
Je cherche une fonction $f$ périodique de période $2 \pi$ de $\mathbb{R}$ dans lui même dont la série de Fourier associée ne converge pas vers $f$. Je pense qu'il en existe, il faut déja qu'elle soit non continue par morceaux ou n'admette pas de limites gauche/droite en tout point. J'ai pensée à $1_{\mathbb{Q}}$ sur $[0, \pi]$ et définie paire. On ne peut même pas lui associer une série de Fourier si je ne m'abuse ?
Merci d'avance !

Poirot · November 2017

On peut lui associer une série de Fourier, mais elle est identiquement nulle (il me semble que tu ne dois pas connaître l'intégrale de Lebesgue).

Tu peux même trouver des contre-exemples avec $f$ continue par morceaux. Le théorème de Dirichlet te donne la convergence ponctuelle vers les régularisées de $f$ si $f$ est de classe $\mathcal C^1$ par morceaux par exemple. Il y a même des résultats plus difficile de divergence en un point de la série de Fourier d'une fonction continue par exemple.

anthomedal · November 2017

Le cours sur les séries de Fourier que j'ai vu était basé sur les intégrales de Riemann, mais oui effectivement avec les intégrales de Lebesgue on peut intégrer cette fonction, je ne savais pas qu'on pouvait reconstruire les séries de Fourier avec la théorie de Lebesgue (remarque pourquoi pas).
Dans le théorème de Dirichlet, on utilise la dérivabilité généralisée à gauche et à droite au point $x$, j'imagine qu'il faut commencer par là... D'autant que ces dérivées généralisées gauche/droite ne doivent pas nécessairement être égales ! J'avoue avoir peut d'idée

Poirot · November 2017

Un exemple classique est associé à $f = -\mathbf 1_{]-\pi, 0]} + \mathbf 1_{]0, \pi]}$, $2 \pi$-périodique. On peut même y observer le phénomène de Gibbs.

Poirot · November 2017

Pour ce qui est de la reconstruction à partir de l'intégrale de Lebesgue, c'est en général très subtil. Mais un théorème difficile de Carleson dit que la série de Fourier d'une fonction $L^2$ (sur $[0, 2 \pi]$ par exemple) converge toujours presque partout vers cette fonction. Et là où on gagne à utiliser Lebesgue est qu'il y a toujours convergence dans $L^2$ vers cette même fonction.

anthomedal · November 2017

Si je ne me suis pas trompé la série de Fourier associée à ce que tu me dis est nulle n'est-ce pas ? Dans ce cas l'égalité est bien fausse !

Ca me frappe que ça fournisse un contre exemple, cette fonction vérifie bien les conditions de Dirichlet pourtant, non?

Edit : Non ! Elle vérifie pas $f(x) = \frac{f(x_+)+f(x_-)}{2}$ en 0 !

Poirot · November 2017

Tu t'es trompé ! Et non, la fonction n'est pas un contre-exemple, il y a convergence ponctuelle en tout point de continuité, et convergence vers les moyennes à gauche et à droite en les $k \pi$, $k \in \mathbb Z$. Regarde le lien que j'ai donné sur le phénomène de Gibbs, la situation se visualise très bien !

anthomedal · November 2017

Oui j'ai vu que je me suis trompé, il y a convergence vers les moyennes, mais comme la fonction ne vaut pas sa moyenne en $0$ on ne peut pas dire qu'il y a décomposition, en fait mon prof (un physicien, évidemment) nous demande de montrer que : Si $f$ est $2 \pi$-périodique, alors : $$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx).
$$ Comme ça m'énerve qu'il formule tout n'importe comment sans hypothèse je cherche un moyen de lui montrer que c'est faux !

Poirot · November 2017

Et bien tu l'as ton contre-exemple !

Fonction périodique qui ne se décompose pas

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