Extrema liés

2) [Oui] A moins que l'on considère la dérivée de $phi$(tout court) par rapport à l'unique variable $x_1$

Bonjour,

J'ai du mal à trouver des réponses sur ce sujet d'où le titre ^^
Plus sérieusement j'ai du mal à comprendre certains faits qui paraîtront évidents aux spécialistes je vais donc mettre à jour une liste de question qui j'espère trouvera quelques réponses.

1) Dans le cadre de contraintes d’égalités on demande à ce que les gradients des contraintes soient linéairement libres ; pourquoi ? Est-ce pour définir la notion d'espace tangent (via le théorème des fonctions implicites) ?
http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/people/gregory.vial/files/cplts/optimisation.pdf

2) Lorsque l'on se place dans le cadre de contraintes d'inégalités on introduit souvent le cône tangent et non plus l'espace tangent, est-ce dû aux inégalités qui font que l'on s'intéresse à des demi-espaces qui sont même plus généralement des cônes ?

[Inutile d'ouvrir une nouvelle discussion. AD]

Merci je vais regarder pour 4) j'ai précisé ma vision géométrique:

Description locale (plus simple) de l'ensemble admissible On rappelle que sous certaines conditions de régularité de $g$ (continûment différentiable et telle que les $\nabla g_i$ soient linéairement indépendants), l'ensemble de niveau $C:=\{y\mid g(y)=0\} $ peut être vu comme une "surface régulière" et permet d'introduire une approximation linéaire locale de cette surface par le biais de la notion d'espace tangent. On dispose donc d'une approximation linéaire de l'ensemble de niveau $\mathcal{V} (x)\cap C$ au voisinage de $x$ par l'espace tangent à $C$ en $x$: noté $T(x,C)$.

À titre d'exemple dans le cas de la dimension 2, si l'on se donne $g:(x,y) \mapsto x^2+y^2-1$ l'ensemble $C:=\{g(x)=0\} $ est une "courbe régulière" (de niveau) ; puisque
$g$ est bien différentiable et $\nabla g(x)$ est non nulle (linéairement indépendant comme seul vecteur). En effet dans ce cas on peut trouver un paramétrage local de $g$ pour l'exprimer comme un arc paramétré (en usant du "théorème des fonctions implicites") puis définir la notion d'espace tangent.

Maximisation Si $x^*$ est le maximum (resp.minimum) local de $f$ on ne peut augmenter au voisinage de $x^*$. Étant donné que l'on peut écrire $f(x^*+td)=f(x^*)+t<\nabla f(x^*), d>+o(t\|d\|)$ on constate que si $\nabla f(x^*)$ n'est pas orthogonal à $T(x^*,C)$ alors en se déplaçant dans une direction $d$ de l'ensemble admissible $\mathcal{V} (x)\cap C$ (approchée par l'espace tangent $T(x^*,C)$ ) faisant augmenter $<\nabla f(x^*), d> $ alors $f(x^*+td)>f(x^*)$
ce qui contredit le fait que $x^*$ est maximal. Ainsi $\nabla f(x^*) \in T(x^*,C)^{\perp} := N(x^*, C)$ (appelé cône normal)

Ensemble de niveau Par ailleurs on connaît le résultat que $\nabla g(x)$ est orthogonal à son ensemble de niveau $C$ . En effet $g$ est constant sur $C:=\{y\mid g(y)=0\}$ et ne peut augmenter lorsque $x$ parcourt $C$ ; de même que précédemment en écrivant le développement limité de $g$ on prouve que $\nabla g(x) \in T(x,C)^{\perp},\ \forall x \in C$. Et cela prouve en particulier (en $x^*$) le théorème de Lagrange qui établit la colinéarité de $\nabla f(x^*)$ et $\nabla g(x^*)$.