Espace de Sobolev

Oxpunch · November 2017

Bonjour, je cale sur cet exo. Je vous remercie d'avance.

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$.
Soit $T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathbb{C}^{1}$ et à dérivée bornée.

1) Montrer que pour tout $u \in \mathbb{H}^{1}(\Omega),\ T(u) \in \mathbb{H}^{1}(\Omega)$,
avec $\mathbb{H}^{1}(\Omega)=\{ u \in \mathbb{L}^{2}(\Omega) \mid \partial u \in \mathbb{L}^{2}(\Omega)\}$
2) Montrer que l'application : $\begin{array}{l|rcl}
T : & \mathbb{H}^{1}(\Omega) & \longrightarrow & \mathbb{H}^{1}(\Omega) \\
& u & \longmapsto & T(u)
\end{array}$ est continue.

gebrane · November 2017

Il manque l’hypothèse T(0)=0, sinon contre exemple avec $T(x)=x+1$ et $\Omega$ non borné.

BobbyJoe · November 2017

Si tu veux une jolie preuve tu peux utiliser que $$\liminf_{s \rightarrow 1;0<s<1}(1-s)\int_{\Omega}\int_{\Omega}\frac{\vert T(u(x))-T(u(y))\vert^{2} }{\vert x-y \vert ^{n+2s}}dxdy \leq C\liminf_{s \rightarrow 1;0<s<1}(1-s)\int_{\Omega}\int_{\Omega}\frac{\vert u(x)-u(y) \vert }{\vert x-y \vert ^{n+2s}} \lesssim \vert \nabla(f) \vert _{2,\Omega}.$$
Ainsi, $T(u)$ a son gradient faible qui vit dans $L^{2}(\Omega)$ par une astuce de convolution (il faut voir que l'inégalité que l'on a écrite plus haut est stable par combinaison convexes de translatées de $T\big(u(x+.)\big)$) et par dualité.
Mais si tu ne veux pas utiliser des théorèmes hors contextes, il suffit juste de régulariser $u$ (le théorème est facile si $u$ est de plus $C^{1}$ à support compact) et conclure par densité en tronquant et utilisant le fait que $T$ est $C^{1}.$

gebrane · November 2017

@Bobbyjoé

A-tu regarder mon contre exemple ?

Avec mon T, on a $T(u(x))=u(x)+1$ donc si $T(u)\in L^2$ alors on aura que $1\in L^2$ absurde. car $\Omega $ n'est pas necessairement borné

BobbyJoe · November 2017

Et alors, j'ai juste écrit que le gradient faible était dans $L^{2}$ ce qui est le résultat difficile à obtenir! $T(u)$ est dans un espace de Sobolev homogène...
Mais oui, il faut ajouter $T(0)$ si tu veux l'appartenance au Sobolev inhomogène.

gebrane · November 2017

J'ai compris ta deuxième méthode ( par densité de C^1 dans H^1), Je trouve cette méthode plus digérable que la première :-D

BobbyJoe · November 2017

C'est juste que la première est un théorème de Brezis-Bourgain qui caractérise les Sobolev sans avoir à parler de dérivée faible, c'est amusant ^^
Pour la deuxième méthode, tu prends une suite $(u_{n})$ de fonctions tests qui convergent $H^{1}$ vers $u.$
On a alors pour tout fonction test $\phi$ à support dans $\Omega$ $$<T(u_{n}),\partial_{i}\phi>=-<\partial_{i}u_{n}T'(u_{n}),\phi>$$ Le coté gauche converge vers $<T(u),\partial_{i}\phi>$ car $T$ est à dérivée bornée. D'où l'on tire par l'inégalité de Cauchy-Schwarz et du fait que $T$ soit à dérivée bornée $$\vert <T(u),\partial_{i}\phi>\vert \leq C\vert \nabla u\vert_{2} \vert \phi \vert _{2}.$$ Par dualité, il vient que $\nabla(T(u))$ est dans $L^{2}.$

Oxpunch · November 2017

@BobbyJoe,
Montrer que $T(u) \in H^{1} $ ne revient-il pas pas à :

1) Montrer que $T(u) \in L^{2}$
2) $\nabla\big(T(u)\big)\in L^{2}$

Je ne comprends pas comment utiliser la densité de $\mathcal{D}(\Omega)$ pour avoir le résultat $\nabla\big(T(u)\big)\in L^{2}$.

gebrane · November 2017

Avec tes hypothèses, T(u) n'est pas forcement dans L^2
Pour montrer que $\nabla\big(T(u)\big)\in L^{2}$ commence par le démontrer si $u\in D(\Omega)$

BobbyJoe · November 2017

La méthode est décrite plus haut..... Enfin, tu ne pouvais pas montrer que $T(u)$ appartient à $L^{2}.$
Sauf en ajoutant $T(0)=0$... Alors, il vient ponctuellement que $\vert T(u) \vert =\vert T(u) -T(0) \vert\leq C\vert u \vert.$ Enfin, pour tout $u,v$ fonctions tests, on a aussi ponctuellement : $\vert T(u)-T(v) \vert \leq C\vert u-v \vert,$ relation utile pour la deuxième partie de la preuve.