calcul de dérivées dans D'

Merci beaucoup. Il y a une question 2 à cet exercice, la voici: On considère les fonctions $h_1(x)= |x| \cos(x)$ et $h_2(x)= |x| \sin(x)$.
a- Montrer que $h_1$ et $h_2$ définissent des distributions sur $\mathbb{R}$.
b- calculer $h'_1, h_1'', h_2', h_2''$.

a. Les deux fonctions sont $L^1_{loc}$, elle définissent donc des distibutions sur $\mathbb{R}$ données par:
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <|x| \sin x, \varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x| \sin(x) dx
$$
et
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <|x| \cos, \varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x| \cos(x) dx
$$
b. calcul des dérivées:

$\bullet$ calcul de $(T_{h_1})'$. On a
$$
h_1(x)=
\begin{cases}
x \cos(x) &: x >0\\
-x \cos x &: x < 0
\end{cases}
$$
on remarque que $h_1$ n'a pas de sauts, donc $(T_{h_1})'= T_{h'_1}$ avec
$$
h'_1(x)
=
\begin{cases}
\cos x - x \sin x &: x >0\\
-\cos x + x \sin (x) &: x < 0
\end{cases}
$$
$\bullet$ Calcul de $(T_{h_1})''$. On a $(T_{h_1})''= (T_{h_1'})'$. On remarque que $h_1'$ a un saut au point $0$, et que $\lim_{x \to 0^+} h'_1(x)= 1$ et $\lim_{x \to 0^-} h_1'(x)= -1$, donc
$$
(T_{h_1})''= T_{h_1''}+2 \delta
$$
où $h_1''$ est donnée par
$$
h_1''(x)=
\begin{cases}
-1 \sin x - x \cos x &:x >0\\
2 \sin(x) + x \cos(x) &: x < 0
\end{cases}
$$
$\bullet$ calcul de $(T_{h_2})'$. on a
$$
h_2(x)=
\begin{cases}
x \sin(x) &: x >0\\
-x \sin(x) &:x<0
\end{cases}
$$
On remarque que $h_2$ n'a pas de sauts, donc $(T_{h_2})'=T_{h_2'}$ où $h_2'$ est définie par
$$
h_2'(x)=
\begin{cases}
\sin x + x \cos x &:x >0\\
-\sin x - x \cos x &: x<0
\end{cases}
$$
$\bullet$ calcul de $(T_{h_2})''$. On remarque que $h_1'$ n'a pas de sauts, donc $(T_{h_2})''= T_{h_2''}$ où $h_2''$ est donnée par
$$
h_2''(x)=
\begin{cases}
2 \cos(x) - x \sin(x) &: x >0\\
-2 \cos(x) + x \sin(x) &: x <0
\end{cases}
$$
Merci par avance pour votre aide.

C'est noté. Merci beaucoup Cyrano :-)