distributions
dans Analyse
Bonjour,
on considère l'application donnée pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ par
$$
<Pf(\dfrac{H}{x^2}), \varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx -\dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln \epsilon]
$$
La question est de montrer que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est une distribution.
Voici ce que j'ai fait.
1. On commence par montrer que que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est bien définie. On écrit le développement de Taylor avec reste de Lagrange d'ordre 2 de $\varphi$ au point $x$ au voisinage de 0:
$$
\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(0)+ \dfrac{x^2}{2} \varphi'(\xi), \xi \in (0,x)
$$
Ainsi, on a
$$
u_{\epsilon}= \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(0)}{x} dx+ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi ''(\xi) dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}+ \varphi'(0) \ln \epsilon
$$
Ainsi
$$
u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{a}+ \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx
$$
Ma question est: qu'est ce qu'on fait du terme $ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx$?
Merci par avance.
on considère l'application donnée pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ par
$$
<Pf(\dfrac{H}{x^2}), \varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx -\dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln \epsilon]
$$
La question est de montrer que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est une distribution.
Voici ce que j'ai fait.
1. On commence par montrer que que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est bien définie. On écrit le développement de Taylor avec reste de Lagrange d'ordre 2 de $\varphi$ au point $x$ au voisinage de 0:
$$
\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(0)+ \dfrac{x^2}{2} \varphi'(\xi), \xi \in (0,x)
$$
Ainsi, on a
$$
u_{\epsilon}= \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(0)}{x} dx+ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi ''(\xi) dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}+ \varphi'(0) \ln \epsilon
$$
Ainsi
$$
u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{a}+ \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx
$$
Ma question est: qu'est ce qu'on fait du terme $ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx$?
Merci par avance.
Réponses
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Ce terme est très gentil et ça passe très bien à la limite
"Inutile de me poser une autre question"Le 😄 Farceur -
$\xi$ depend de $x$, donc ma question initial est que dire de la limite $\lim_{\epsilon \to 0}\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx$.
-
La limite existe car $\varphi'' \circ \xi$ est (mesurable) bornée sur $[0, a]$ donc elle y est intégrable.
-
Si tu ne vois pas que $\lim_{\epsilon \to 0}\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^a \varphi''(\xi) dx$ remets les distributions au tiroir et reprendre le cours de L1
edit Grillé par Poirot dans un four à 320 c°Le 😄 Farceur -
Je dirais plutôt qu'il existe un choix de mesurable de $\xi$... Dans l'état, c'est faux si tu ne choisis pas $\xi$ convenablement ^^
Mais je pense grandement que l'on peut éviter ce type de considération, il suffit de localiser $\phi$ au voisinage de $0$ de la façon suivante...
On voit que le résultat est facile si $\phi(0)=0$ et $\phi'(0)=0.$ On s'y ramène avec $\phi$ remplacée par $\phi(x)-\alpha(x)(\phi(0)+x\phi'(0))$ où $\alpha$ est une fonction plateau valant $1$ dans un voisinage de $0.$ -
Merci Poirot, donc on ne peut pas trouver la limite de manière explicite, il suffit juste de savoir qu'elle existe.
Gbrane je connais bien les fonction $L^1$ vraiment pas besoin d'aggraver la situation, Poirot a bien compris ma question.:-) -
L1 c'est la première année de la licence :-DLe 😄 Farceur
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Oui BobbyJoe, d'ailleurs en y réfléchissant ça ne me semble pas si évident que ça. Pour s'en sortir on pourrait aussi exprimer le reste du développement de Taylor sous forme d'une intégrale sinon.
-
Il n' y a pas de problème, il suffit d'ecrire
$\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(0)+x^2 \Psi(x)$ avec $\Psi(x)=\int_0^1 {(x-t)} \varphi ''(tx) dt\in D(\R)$Le 😄 Farceur -
BobbyJoe je ne suis pas sure de comprendre votre réponse. Pourquoi ça ne marche pas avec le reste de Lagrange?
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car la partie polynomiale de degré 1 n'est pas une fonction test.... Il vaut juste ruser en tronquant avec l'aide d'une fonction plateau....
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@Gebrane: vooyons voyons en vois bien que je n'ai pas modifié mon message!!! Il n' y a aucun mystère, vous avez mal lu.
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BobbyJoe je n'arrive pas à suivre, je reprends. En faisant un développement d'ordre 2 on obtient que $$
\lim_{\epsilon \to 0} u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{a}+ \varphi'(0) \ln(a) + \int_0^a \varphi''(\xi_x) dx .
$$ Le problème vient du terme $ \displaystyle\int_0^a \varphi''(\xi_x) dx$ c'est bien ça. Mais à mon avis on ne peut pas calculer ce terme de manière explicite, c'était l'objet de ma question initiale. Pouvez m'expliquer une seconde fois (car je n'ai pas compris la première explication) ce qui ne va pas exactement ? Merci par avance. -
Gebrane vous voyez bien que c'est une erreur de frappe puisqu'après j'ai bien injecter le terme! S'il vous plaît j'ai fait une solution j'ai posé une simple question et j'attends la réponse de Bobby ou Poirot. Excusez moi pour cette erreur de frappe qui vous a perturbé.
-
@Bobby Joe: ma question initiale porte juste sur le terme $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx= \displaystyle\int_0^a \varphi''(\xi) dx$ où $\xi \in (0,x)$. Si j'ai bien compris, il faut que cette limite soit une fonction teste? Qu'est ce qui ne vas pas exactement? Désolée de poser la question une deuxième fois.
-
Non il faut que la fonction $x \mapsto \varphi''(\xi_x)$ soit intégrable. (Pour pouvoir écrire l'intégrale ...)
Sauf que tu ne sais pas qu'elle l'est car tu n'as aucune idée de comment varie $\xi_x$ quand $x$ bouge. Tu ne sais même pas par exemple que $x \mapsto \xi_x$ est continu.
Voilà pourquoi cette piste est mauvaise. -
Ah voilà, j'ai compris! Merci beaucoup Cyrano.
-
Voici donc la preuve que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est une distribution sur $\R$. Merci de me dire si c'est ok.
1. $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est bien définie. En écrivant le développement de Taylor avec reste intégral d'ordre 2, on a
$$
\varphi(x)= \varphi(0)+x \varphi'(0)+ x^2 g(x),
$$
où $g$ est une fonction de classe $C^\infty(\R)$ donnée par $g(x)= \displaystyle\int_0^1(x-t)\varphi''(tx)dt$.
Donc,
$$
u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{a}+\varphi'(0) \ln(a) + \displaystyle\int_{\epsilon}^a g(x) dx.
$$
Donc,
$$
\lim_{\epsilon \to 0}u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{a}+\varphi'(0) \ln(a) + \displaystyle\int_0^a g(x) dx.
$$
ce qui montre que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est bien définie.
2. la linéarité est claire.
3. Continuité: Soit $K$ un compact et soit $\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. On a:
$$
|<Pf(\dfrac{H}{x^2}),\varphi>|=|-\dfrac{\varphi(0)}{a}+\varphi'(0) \ln(a)+\displaystyle\int_0^a g(x) dx| \leq \dfrac{1}{a} \sup_x |\varphi(x)|+\ln(a) \sup_x|\varphi'(x)| + \displaystyle\int_0^a |g(x)|dx
$$
on sait que $\displaystyle\int_0^a|g(x)| dx \leq (\dfrac{1}{2}a-\dfrac{a^2}{2}) \sup_x |\varphi'(x)|$. Ainsi,
$$
|<Pf(\dfrac{H}{x^2}),\varphi>| \leq C_1 P_{K,0}(\varphi)+ C_2 P_{K,1}(\varphi) \leq C P_{K,1}(\varphi).
$$
Ce qui montre que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est continue.
Par 1,2, et 3 on conclut que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est une distribution sur $\R$ d'ordre $m \leq 1$. -
Il n y a aucune réponse, donc je déduis que je ce que j'ai fait est correcte. Merci beaucoup.
-
Il y a un problème, ton $a$ a l'air fixé dès le début alors qu'il dépend de $\varphi$ en général...
-
Non, le $a$ n'est pas fixé. On écrit au début: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$, alors il existe $a>0$ tel que $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$
-
Alors pourquoi tu ne l'as pas écrit ?
-
On note
A:=Il n y a aucune réponse
B:= ce que j'ai fait est correcteTheoreme de Bib a écrit:$A \Rightarrow B$Contre exemple Gebrane a écrit:Inégalité $\displaystyle\int_0^a|g(x)| dx \leq (\dfrac{1}{2}a-\dfrac{a^2}{2}) \sup_x |\varphi'(x)|$ fausse pour $a=2$
réponse de Bib, Oh gb mince , encore une faute de frappe
Sache que je ne te lis plus comme avantLe 😄 Farceur -
-
Tu ne l'as écrit nulle part dans le fil. Et ça pose un problème de logique dans ta résolution de la question 3).
-
C'est compris. Merci beaucoup
-
Gebrane c'est un simple calcul d'intégrale, je ne suis pas idiote à ce point:-)
-
Je cherche un exercice où il y'a les question sont: 1.montrer que l'application suivante est une distribution, 2.calculer la restriction,3. calculer le support de la distribution, 4.étudier la convergence dans D'.
Merci par avance. -
Bib montre moi cette preuve , c'est moi qui suit idiot
Merci de m'aider à comprendreLe 😄 Farceur -
$|\displaystyle\int_0^a g(x) dx| = |\displaystyle\int_0^a (\displaystyle\int_0^1(t-x) \varphi’’(tx) dt) dx| \leq \sup_x |\varphi'’(x)| |\displaystyle\int_0^a \displaystyle\int_0^1 (t-x) dt dx|=|\dfrac{1}{2}a-\dfrac{a^2}{2}| \sup_x |\varphi'’(x)|$
-
Au passage, tu pourras aussi nous rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux fonctions intégrables.
edit (message croisé, je pensais à une autre erreur plus grave (quoique)) : Ouais, mais tu as dit :
$g(x)= \displaystyle\int_0^1(x-t)\varphi''(tx)dt$ -
Oui pardon j’ai corrigè en retard.
-
Mais quel est le rapport avec ça ?
$$\displaystyle\int_0^a|g(x)| dx \leq (\dfrac{1}{2}a-\dfrac{a^2}{2}) \sup_x |\varphi'(x)|$$ -
S’il vous plait, quelsu’un peut il proposer un exercice avec les questions suivantes s’il vous plaît: montrer que c’est une distribution, trouver la restriction de la distribution, calculer le support et étudier la convergence dans D’.
Merci par avance -
J'ai un bel exercice complet pour toi. En plus ça fournit un contre-exemple qu'une propriété vraie au voisinage du support devient fausse si on ne la considère QUE sur le support.
Soit l'application $T : \varphi \in \mathcal{D}(\R) \mapsto \sum_{m=1}^{+\infty}\left( \varphi\left(\frac{1}{m} \right)-\varphi(0)-\frac{\varphi'(0)}{m}\right).$
1) Montrer que $T$ est une distribution.
2) Montrer que $supp(T) = \{0\} \cup \{\frac{1}{m} : m \in \N_0\}$
3) Pour tout $m\in \N_0$ on considère $\varphi_m\in \mathcal{D}(\R)$ une fonction valant $\frac{1}{\sqrt{m}}$ au voisinage de $[1/m,1]$ et $0$ au voisinage de $[0,1/(m+1)]$ et telle que $0 \leq \varphi_m \leq \frac{1}{\sqrt{m}}$. Montrer qu'il existe $\varphi$ telle que $\varphi_m \to \varphi$ dans $\mathcal{D}(\R).$
4) Montrer que $\lim_{m\to +\infty}T(\varphi_m) =+\infty$.
5) En déduire qu'il existe une distribution $\varphi$ à support compact qui ne vérifie pas $$T(\varphi) = C \sup_{|\alpha|\leq k} \sup_{supp(T)} |D^{\alpha}(\varphi)|.$$
En revanche évidemment la propriété $5$ est vraie si on prend un voisinage du support pour la majoration. -
Merci infiniment Cyrano :-) je commence à le travailler dès demain et je posterai mes réponses au fur et à mesure.:-)
-
Cependant, as-tu as constaté ton erreur ?
Si Gebrane te demande d'expliciter ta preuve, je pense qu'il vaut mieux éviter de répondre que c'est clair et point final. Si c'est clair, écrit ta preuve. Cela ne pourra que t'être bénéfique.
C'est parfois en détaillant des choses que l'on pensait évidente que l'on se rend compte d'une erreur (Cela m'est d'ailleurs arrivé sur un fil tout à l'heure) -
@Cyrano
C'est sûr que $T$ est continue ? Par exemple on prend $\chi$ une fonction plateau au voisinage de $0$ et la suite des $\alpha_n x^n \chi(x)$ tend vers $0$, mais on peut choisir les $\alpha_n$ tel que $T(\alpha_n x^n \chi(x))$ ne tend pas vers $0$. -
Réfléchis encore un peu, $T$ est bien continue. ;-)
Pour le $3$, je vais revérifier mais je pense que c'est bon également. -
Oups, ce que je disais ne tend pas vers $0$ quel que soit $\alpha_n$… C'est bon, j'ai réfléchi plus.
Pour le (3), j'ai supprimé mon message car j'avais oublié le $\frac{1}{\sqrt{m}}$.
Désolé !
edit : J'ai vraiment dit n'importe quoi.
-
Enfin pour la convergence du (3) je ne vois pas, pour moi ça ne fonctionne pas mais bref je dois m'être trompé.
-
Certains points des question 3) 4) 5) de Cyrano sont pas clairs du tout.Soit l'opérateur $F\varphi(x)= \varphi(x) -\varphi(0)-x\varphi'(x)$.
C'est un opérateur linéaire et continu $D(\mathbb{R})\to C^\infty(\mathbb{R})$.
Alors $\langle T \varphi \rangle= \sum_{m=1}^\infty F\varphi(x/m)$ converge et est une distribution parce que $\lim_{x \to 0} \frac{F \varphi(x)}{x^2} =\varphi''(0)$.
De cette façon on voit clairement que pour majorer $\langle T \varphi \rangle$ il faut majorer $\frac{F(\varphi(x))}{x^2}$ sur $[0,1]$, donc $\varphi''$, donc $T$ est une distribution d'ordre $2$ à support compact. -
Vous pouvez m'expliquer pourquoi vous donnez des éléments de réponses à un exercice posé à bib ?
-
Oui reuns, tu devrais mettre ton commentaire en spoiler. ;-)
Sinon mon énoncé me semble clair à part éventuellement l'absence de quantificateurs au dernier point.
Mais elle peut déjà faire les 4 premiers points.
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Bonjour!
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