@milie: c'était uniquement une erreur de frappe, e n'ai pas mis la valeur absolue et ça arrive quand on écrit en latex sur pc, ce n'est pas comme à la main.
Revenons à l'exercice.
Pour la question 1, montrer que $T$ est une distribution. Le premier reflexe que j'ai est d'écrire la somme infinie comme somme finie car $\varphi$ est à support compact. Mais ici ce n'est pas possible, car on a la somme sur $m$ de $\varphi(\dfrac{1}{m})$ c'est à dire au voisinage de 0, et $\varphi$ peut très bien être définie par 1 au voisinage de 0, et la somme infinie dans ce cas diverge.
Si je ne règle pas ce problème de somme infinie, ça ne sert à rien d'écrire un DL.
Ma question est: est-ce que mn raisonnement est correcte? et donc quelle astuce utiliser dans ce cas?
C'est correct quand tu dis que tu ne peux pas forcément te ramener à une somme finie. C'est incorrect quand tu dis que la série diverge. Franchement ça devrait te sauter aux yeux, ça ne te fait penser à rien l'expression $$\varphi \left( \frac{1}{m} \right) - \varphi(0) - \frac{\varphi'(0)}{m} \,?$$
Oui je voulais dire que la série $\sum_{m=1}^{+\infty} \varphi(\dfrac{1}{m})$ diverge dans le cas où $\varphi=1$ au voisinage de 0, je pense l'avoir écrit.
En fait pour la série que donne Cyrano j'ai mal lu, j'ai fait une grosse bêtise. Je pensais que seul $\varphi(1/m)$ était avec la somme. Je refais mes calculs calmement et je reviens
Voici ma réponse à la question 1: Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$, alors $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$.
1. $T$ est bien défini. On écrit le développement de Taylor avec reste de Lagrange d'ordre de 2, de $\varphi$ au point $1/m$ au voisinage de 0:
$$
\varphi(\dfrac{1}{m})=\varphi(0)+\dfrac{1}{m} \varphi'(0)+ \dfrac{1}{2m^2} \varphi''(\xi), \ \xi \in (0,\dfrac{1}{m})
$$
Alors on a
$$
<T,\varphi>= \sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2m^2} \varphi''(\xi).
$$
On a:
$$
|\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2m^2} \varphi''(\xi)| \leq \dfrac{1}{2} \sup_{x \in \R} |\varphi''(x)| \sum_{m=1}^{+\infty} |\dfrac{1}{m^2}| < +\infty.
$$
Cette série est absolument convergente, donc elle est convergente ce qui veut dire que $T$ est bien définie.
2. La linéarité de $T$ est claire.
3. Continuité de $T$. Soit $K$ un compact et soit $\varphi \in \mathcal{D}_K(\R)$. On a
$$
|<T,\varphi>| = |\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2 m^2} \varphi''(\xi)| \leq \dfrac{1}{2} (\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{m^2} \sup_{x \in K} |\varphi''(x)| \leq C P_{K,2}
$$
Donc $T$ est continue.
Par 1, 2 et 3 on conclut que $T$ est une distribution sur $\R$ d'ordre $m \leq 2.$
Bonjour,
pour la question 2. Montrer que $Supp T=\{0\} \cup \{\dfrac{1}{m}, m \geq 1\}$. On note $F= \{0\} \cup \{\dfrac{1}{m}, m \geq 1\}$.
On commence par montrer l'inclusion $Supp T \subset F$, ce qui qui revient à montrer que $C_{\R} F \subset C_{\R}Supp T$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(C_{\R} F)$, puisque $0, \dfrac{1}{m} \notin C_{\R} F$ alors on $\varphi(0)= \varphi(\dfrac{1}{m})= \varphi'(0)=0$ ce qui implique que $<T,\varphi>=0$, d'où l'inclusion.
Il reste maintenant à montrer la deuxième inclusion $F \subset Supp T$. Pour montrer que $1/m \in Supp T$, il suffit de montrer que quelque soit l'ouvert contenant $1/m$, il existe une fonction teste $\varphi$ à support dans cet ouvert tel que $<T,\varphi> \neq 0$. Je trouve des difficultés à construire une telle fonction teste.
Merci par avance pour votre aide.
Euh c'est quoi $C_{\mathbb R}F$ ? C'est le complémentaire de $F$ dans $\mathbb R$ ? Pourquoi $Supp T \subset F$ serait équivalent à $C_{\mathbb R} F \subset Supp T$ ?
Non, c'est $C_{\R} \subset C_{\R} Supp T$, $C_{\R} Supp T$ est l'ouvert d'annulation. Pardon, j'ai corrigé dans mon post.
Je pense que la première inclusion est correcte. Non? Une idée pour la deuxième? S'il vous plaît.
En règle générale, c'est plus facile de procéder par inclusion pas trop grossière du support puis de prendre l'adhérence (car on sait que le support d'une distribution est fermé).
Les inclusions pour ton exemple $$\mbox{Supp}(T)\subset \overline{\{\frac{1}{m};m\in \mathbb{N}^{*}\}} \mbox{ et } \{\frac{1}{m};m\in \mathbb{N}^{*}\}\subset \mbox{Supp}(T)$$ sont assez claires, à toi de bien appliquer la définition du support ^^
Oui c'est bien ce que j'ai essayé de faire dans mon précédent post.
$Supp T$ est le complémentaire de l'ouvert d'annulation, notons le $w$. $w$ est le plus grand ouvert tel que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(w): <T,\varphi>=0$. On peut voir aussi $Supp T$ comme le plus petit fermé endehors duquel $T$ s'annule.
1. Pour montrer que $Supp T \subset \overline{ \{\dfrac{1}{m}, m \geq 1\} }=F$, il suffit de montrer que $C_{\R} F \subset C_{\R} Supp T$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(C_{\R} F)$. Comme $0, 1/m \notin C_{\R} F$, alors $\varphi(0)=\varphi(1/m)=\varphi'(0)=0$. Ce qui implique que $<T,\varphi>=0$ ce qui montre que $C_{\R} F \subset C_{\R} Supp T$ et donc $Supp T \subset F.$
2. Ma difficulté est de montrer que $\{1/m, m \geq 1\} \subset Supp T$.
Oui, dans mon premier message, c'est exactement ce que j'ai pensé à faire et j'ai bien dit que à mon avis, cela revient à trouver que pour tout ouvert contenant $1/m$, il existe une fonction test à support dans cet ouvert tel que $<T,\varphi> \neq 0.$ Je l'ai bien écrit dans ma solution, et ma question était et est comment choisir cet ouvert et cette fonction test de sort à avoir $<T,\varphi> \neq 0$ et en même temps fini? S'il vous plaît.
Sélectionne une fonction "pic" ou plateau qui vaut $1$ en $\frac{1}{m}$ et $0$ en dehors de $[\frac{1}{m}-\varepsilon,\frac{1}{m}+\varepsilon]$ en choisissant $\varepsilon$ convenablement (c'est à dire que cet intervalle ne rencontre ni $\frac{1}{m+1}$ ni $\frac{1}{m-1}$).
En fait il suffit de prendre $\epsilon < \dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}$.
Voici le raisonnement: montrer que $1/m \in Supp T$ revient à montrer que pour chaque ouvert $U$ contenant $1/m$, il existe une fonction test $\varphi$ telle que $Supp(\varphi) \subset U$ et $<T,\varphi> \neq 0$.
Soit $ \epsilon > 0$ tel que $\epsilon < 1/m - 1/m+1$. On pose $U=]1/m-\epsilon, 1/m+\epsilon[$ qui contient $1/m$. Soit $\varphi \in C^\infty(\R)$ telle que $0 \leq \varphi \leq 1$ telle que $\varphi=1$ sur $U$ et $\varphi(x)=0$ pour tout $x \notin U$.
On a alors $<T,\varphi>=\varphi(1/m) \neq 0$. Ce qui montre que $1/m \in Supp T$.
Néanmoins il y a un point que je ne ne comprend pas. On a choisit le bon $\epsilon$ afin que l'ouvert ne contienne que $1/m$. Mais il faut faire la démonstration pour tout ouvert contenant $1/m$. Non?
Si $O$ est un ouvert contenant $1/m$, il existe un intervalle ouvert $I = ]\frac{1}{m}- \delta, 1/m +\delta [$ centré en $1/m$ inclus dans $O$, et alors on pose $\epsilon = \cdots$
j'ai choisi $\epsilon < \dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{m+1}$. Mais ma question et qu'il y a d'autres ouverts centrés en $1/m$ et qui contiennent $\dfrac{1}{m+1}$ et $\dfrac{1}{m-1}$, donc est-ce qu'on doit montrer que quelque soit l'ouvert U il existe une fonction teste telle que $<T,\varphi> \neq 0$ ou bien on montre qu'il existe un ouvert et il existe une fonction teste à support dans cet ouvert tel que $<T,\varphi>\neq 0$?
Bonjour,
je souhaite finir cet exercice. Je rappelle qu'on a une distriibution $T= \sum_{m=1}^{+\infty} (\varphi(\dfrac{1}{m})-\varphi(0)- \dfrac{\varphi'(0)}{m})$.
La question est de montrer que $Supp(T)= \{0\} \cup \{\dfrac{1}{m}, m \in \N^\star\}$.
Je lis que pour montrer qu'un point appartient au support d'une distribution, il suffit de montrer que pour chaque ouvert $U$ contenant ce point, il existe une fonction test $\varphi$ telle que $Supp(\varphi) \subset U$ et $<T,\varphi> \neq 0$.
En sachant que la définition du support d'une distribution dit que c'est le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel la distribution s'annulle. On peut dire aussi que c'est le plus petit fermé en dehors duquel la distrubution s'annule.
Le souci est que moi j'arrive à montrer que $1/m \in Supp T$ mais pas en prenant n'importe quel ouvert contenant $1/m$.
montrer que $1/m \in SuppT$ revient à montrer que pour chaque ouvert $U$ contenant $1/m$, il existe une fonction test $\varphi$ telle que $Supp(\varphi) \subset U$ et $<T,\varphi> \neq 0$. Soit $ \epsilon > 0$ tel que $\epsilon < 1/m - 1/m+1$. On pose $U=]1/m-\epsilon, 1/m+\epsilon[$ qui contient $1/m$. Soit $\varphi \in C^\infty(\R)$ telle que $0 \leq \varphi \leq 1$ telle que $\varphi=1$ sur $U$ et $\varphi(x)=0$ pour tout $x \notin U$. On a alors $<T,\varphi>=\varphi(1/m) \neq 0$. Ce qui montre que $1/m \in Supp T$.
Et en fait j'ai deux question:
1. comment on sait montrer qu'"un point appartient au support d'une distrubtion" en partant de la définition du support d'une distribution?
2. J'ai montré que $1/m \in Supp T$ pour un ouvert contenant $1/m$. Comment montrer ce résultat quelque soit l'ouvert?
Réponses
Revenons à l'exercice.
Pour la question 1, montrer que $T$ est une distribution. Le premier reflexe que j'ai est d'écrire la somme infinie comme somme finie car $\varphi$ est à support compact. Mais ici ce n'est pas possible, car on a la somme sur $m$ de $\varphi(\dfrac{1}{m})$ c'est à dire au voisinage de 0, et $\varphi$ peut très bien être définie par 1 au voisinage de 0, et la somme infinie dans ce cas diverge.
Si je ne règle pas ce problème de somme infinie, ça ne sert à rien d'écrire un DL.
Ma question est: est-ce que mn raisonnement est correcte? et donc quelle astuce utiliser dans ce cas?
Indice : tu penses bien que si la série divergeait l'exercice s'arrêterait relativement tôt ...
En fait pour la série que donne Cyrano j'ai mal lu, j'ai fait une grosse bêtise. Je pensais que seul $\varphi(1/m)$ était avec la somme. Je refais mes calculs calmement et je reviens
1. $T$ est bien défini. On écrit le développement de Taylor avec reste de Lagrange d'ordre de 2, de $\varphi$ au point $1/m$ au voisinage de 0:
$$
\varphi(\dfrac{1}{m})=\varphi(0)+\dfrac{1}{m} \varphi'(0)+ \dfrac{1}{2m^2} \varphi''(\xi), \ \xi \in (0,\dfrac{1}{m})
$$
Alors on a
$$
<T,\varphi>= \sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2m^2} \varphi''(\xi).
$$
On a:
$$
|\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2m^2} \varphi''(\xi)| \leq \dfrac{1}{2} \sup_{x \in \R} |\varphi''(x)| \sum_{m=1}^{+\infty} |\dfrac{1}{m^2}| < +\infty.
$$
Cette série est absolument convergente, donc elle est convergente ce qui veut dire que $T$ est bien définie.
2. La linéarité de $T$ est claire.
3. Continuité de $T$. Soit $K$ un compact et soit $\varphi \in \mathcal{D}_K(\R)$. On a
$$
|<T,\varphi>| = |\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2 m^2} \varphi''(\xi)| \leq \dfrac{1}{2} (\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{1}{m^2} \sup_{x \in K} |\varphi''(x)| \leq C P_{K,2}
$$
Donc $T$ est continue.
Par 1, 2 et 3 on conclut que $T$ est une distribution sur $\R$ d'ordre $m \leq 2.$
Fais juste attention au fait que ton $\xi$ dépend de $m$, il vaudrait mieux le préciser en l'appelant $\xi_m$.
Je passe à la rédaction de la réponse à la question 2, et je reviens.
pour la question 2. Montrer que $Supp T=\{0\} \cup \{\dfrac{1}{m}, m \geq 1\}$. On note $F= \{0\} \cup \{\dfrac{1}{m}, m \geq 1\}$.
On commence par montrer l'inclusion $Supp T \subset F$, ce qui qui revient à montrer que $C_{\R} F \subset C_{\R}Supp T$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(C_{\R} F)$, puisque $0, \dfrac{1}{m} \notin C_{\R} F$ alors on $\varphi(0)= \varphi(\dfrac{1}{m})= \varphi'(0)=0$ ce qui implique que $<T,\varphi>=0$, d'où l'inclusion.
Il reste maintenant à montrer la deuxième inclusion $F \subset Supp T$. Pour montrer que $1/m \in Supp T$, il suffit de montrer que quelque soit l'ouvert contenant $1/m$, il existe une fonction teste $\varphi$ à support dans cet ouvert tel que $<T,\varphi> \neq 0$. Je trouve des difficultés à construire une telle fonction teste.
Merci par avance pour votre aide.
Je pense que la première inclusion est correcte. Non? Une idée pour la deuxième? S'il vous plaît.
Les inclusions pour ton exemple $$\mbox{Supp}(T)\subset \overline{\{\frac{1}{m};m\in \mathbb{N}^{*}\}} \mbox{ et } \{\frac{1}{m};m\in \mathbb{N}^{*}\}\subset \mbox{Supp}(T)$$ sont assez claires, à toi de bien appliquer la définition du support ^^
$Supp T$ est le complémentaire de l'ouvert d'annulation, notons le $w$. $w$ est le plus grand ouvert tel que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(w): <T,\varphi>=0$. On peut voir aussi $Supp T$ comme le plus petit fermé endehors duquel $T$ s'annule.
1. Pour montrer que $Supp T \subset \overline{ \{\dfrac{1}{m}, m \geq 1\} }=F$, il suffit de montrer que $C_{\R} F \subset C_{\R} Supp T$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(C_{\R} F)$. Comme $0, 1/m \notin C_{\R} F$, alors $\varphi(0)=\varphi(1/m)=\varphi'(0)=0$. Ce qui implique que $<T,\varphi>=0$ ce qui montre que $C_{\R} F \subset C_{\R} Supp T$ et donc $Supp T \subset F.$
2. Ma difficulté est de montrer que $\{1/m, m \geq 1\} \subset Supp T$.
Voici le raisonnement: montrer que $1/m \in Supp T$ revient à montrer que pour chaque ouvert $U$ contenant $1/m$, il existe une fonction test $\varphi$ telle que $Supp(\varphi) \subset U$ et $<T,\varphi> \neq 0$.
Soit $ \epsilon > 0$ tel que $\epsilon < 1/m - 1/m+1$. On pose $U=]1/m-\epsilon, 1/m+\epsilon[$ qui contient $1/m$. Soit $\varphi \in C^\infty(\R)$ telle que $0 \leq \varphi \leq 1$ telle que $\varphi=1$ sur $U$ et $\varphi(x)=0$ pour tout $x \notin U$.
On a alors $<T,\varphi>=\varphi(1/m) \neq 0$. Ce qui montre que $1/m \in Supp T$.
Néanmoins il y a un point que je ne ne comprend pas. On a choisit le bon $\epsilon$ afin que l'ouvert ne contienne que $1/m$. Mais il faut faire la démonstration pour tout ouvert contenant $1/m$. Non?
je souhaite finir cet exercice. Je rappelle qu'on a une distriibution $T= \sum_{m=1}^{+\infty} (\varphi(\dfrac{1}{m})-\varphi(0)- \dfrac{\varphi'(0)}{m})$.
La question est de montrer que $Supp(T)= \{0\} \cup \{\dfrac{1}{m}, m \in \N^\star\}$.
Je lis que pour montrer qu'un point appartient au support d'une distribution, il suffit de montrer que pour chaque ouvert $U$ contenant ce point, il existe une fonction test $\varphi$ telle que $Supp(\varphi) \subset U$ et $<T,\varphi> \neq 0$.
En sachant que la définition du support d'une distribution dit que c'est le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel la distribution s'annulle. On peut dire aussi que c'est le plus petit fermé en dehors duquel la distrubution s'annule.
Le souci est que moi j'arrive à montrer que $1/m \in Supp T$ mais pas en prenant n'importe quel ouvert contenant $1/m$.
montrer que $1/m \in SuppT$ revient à montrer que pour chaque ouvert $U$ contenant $1/m$, il existe une fonction test $\varphi$ telle que $Supp(\varphi) \subset U$ et $<T,\varphi> \neq 0$. Soit $ \epsilon > 0$ tel que $\epsilon < 1/m - 1/m+1$. On pose $U=]1/m-\epsilon, 1/m+\epsilon[$ qui contient $1/m$. Soit $\varphi \in C^\infty(\R)$ telle que $0 \leq \varphi \leq 1$ telle que $\varphi=1$ sur $U$ et $\varphi(x)=0$ pour tout $x \notin U$. On a alors $<T,\varphi>=\varphi(1/m) \neq 0$. Ce qui montre que $1/m \in Supp T$.
Et en fait j'ai deux question:
1. comment on sait montrer qu'"un point appartient au support d'une distrubtion" en partant de la définition du support d'une distribution?
2. J'ai montré que $1/m \in Supp T$ pour un ouvert contenant $1/m$. Comment montrer ce résultat quelque soit l'ouvert?
Merci d'avance.