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série numérique

kaputokaputo
dans Analyse
Bonjour.

Je veux montrer que la série $\sum_n \big(\sin(\frac{1}{n})\big)^{n}$ converge.

J'ai fait la démarche suivante: pour $n$ assez grand $0\leq\big(\sin(\frac{1}{n})\big)^n\leq (\frac{1}{n})^n$.

Or la série $\sum_n (\frac{1}{n})^n$ donc la série converge.

Ma réponse est elle correcte ?
Merci

Réponses

  • gebranegebrane
    Oui, mais il faut justifier que $\sin (1/n)$ est positif (je sais c'est immédiat) et que $\forall x\in \R,\ |\sin(x)|\leq |x|$ (je sais c'est immédiat) et que $\ \displaystyle \sum \frac 1 {n^n}$ converge (je sais c'est immédiat).
    Le 😄 Farceur


  • kaputokaputo
    Merci @gebrane.
  • PoirotPoirot
    Je ne comprends pas, dans ta série initiale il y a un carré mais dans ta justification il y a des puissances $n$-ièmes.
  • kaputokaputo
    @Poirot, j'ai réctifié c'est un $n$.
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