Lemme de Fatou.

Si tu veux une réponse, il faut nettoyer les parasites

Il manque juste une inégalité si tu veux.... Par la remarque précédente de ton papier et le Lemme de Fatou, il vient bien
\begin{align*}
\vert f\vert _{p}= & \left(\int_{\mathcal{K}}\vert f(k) \vert ^{p}dk\right)^\frac{1}{p}\\
& =\left(\int_{\mathcal{K}}\liminf_{n\rightarrow +\infty} \vert \Phi_{\lambda}(a_{n})^{-1}\mathcal{P}_{\lambda}f(ka_{n})\vert ^{p}dk\right)^{\frac{1}{p}}\\
& \leq \liminf_{n\rightarrow +\infty}\left(\Phi_{\mathcal{Re}(\lambda)}^{-1}(a_{n})\left(\int_{\mathcal{K}}\vert \mathcal{P}_{\lambda}f(ka_{n})\vert ^{p}dk\right)^\frac{1}{p}\right)\\
& \leq \sup_{a_{n}\in \mathcal{A}}\left(\Phi_{\mathcal{Re}(\lambda)}^{-1}(a_{n})\left(\int_{\mathcal{K}}\vert \mathcal{P}_{\lambda}f(ka_{n})\vert ^{p}dk\right)^\frac{1}{p}\right).
\end{align*}