contraintes actives

Pour être plus précis, elles n'ont pas de rôle dans la recherche des optima locaux.

La raison est lorsque ces contraintes sont données par des fonctions continues (et donc a fortiori si elles sont différentiables), toute contrainte non active en un point $a$ est non active aussi sur un voisinage de $a$. Alors on regarde le problème sur l'intersection (finie) de tels voisinages de $a$ associé à chacune des contraintes, qui est encore un voisinage de $a$, et sur ce voisinage les contraintes ne jouent même plus.

De manière générale dans un problème d'optimisation, par définition de celui-ci, les solutions potentielles de notre problème d'optimisation sont "contraintes" à rester dans l'ensemble contrainte $C$. On cherche les points en lesquelles il n'existe aucunes directions de descentes (les minimums locaux) localement tout en restant dans l'ensemble contrainte. Puisque l'on s’intéresse aux extremums locaux on est donc amener à déterminer la structure locale de $C$. (D'ailleurs puisque l'on travaille avec des directions(de descente) , on n'aime pas trop les courbes (de l'espace contrainte) et on préfère travailler avec des "direction droites", comme des espace vectoriel, des cônes...).

On montre que la "bonne" notion de approximation locale de $C$ est donnée par le cône tangent (d'ailleurs les conditions nécessaires et parfois suffisantes d'optimalités font intervenir ce cône tangent https://fr.wikipedia.org/wiki/Conditions_d'optimalité_(dimension_finie)#cn1-g.C3.A9n.C3.A9rique). (Il existe d'autre notions comme le cône des directions admissibles qui est trop "pauvre". Attention également, selon la litterature le cône tangent est parfois confondu avec le cône tangent au sens de Bouligand ). L'objectif est donc de déterminer le cône tangent à $C$ (en ses différents points).

On peut trouver différentes "descriptions" de $C$ (description géométriques, diverses descriptions fonctionnelles...) et essayer de déterminer son cône tangent en différents points. Pour exploiter ce cône tangent on aimerait donc avoir une description analytique de celui-ci!
Pour avoir une expression analytique du cône tangent on se dit qu'il serait bien d'avoir une écriture "fonctionnelle" et "simple"de $C$ (par exemple on peut parfois décrire $C=\{x:g(x) =0\}$.

L'idée étant que sous conditions de régularité $g$ admet une approximation linéaire locale et on se dit que l'on peut trouver une expression locale "linéaire" (donc très simple) de $C$ en exploitant l'approximation linéaire de $g$. Là nait la notion de "cône linéarisé" en un point! Les qualifications de contraintes servent à avoir l'égalité entre le cône tangent (ce qui nous interesse) et "le cône tangent linéarisé":
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cône_tangent#Qualification_de_contraintes


PS: Par contre il faut faire très attention: https://fr.wikipedia.org/wiki/Qualification_de_contraintes ,en effet pour un même "ensemble contrainte $C$" on peut donner diverses expressions (analytiques) de $C$ sous forme fonctionnelle (du type $g(x) \leq 0$ par exemple) qui mèneront à différents "cônes linéarisées" alors que le cône tangent lui ne dépend que de (la description géométrique de) $C$ et non de son écriture (analytique). Je n'ai pas d'exemples sous la main mais peut être un intervenant pourra en donner un..

Je n'ai malheureusement pas de manuel à conseiller, il y a de bons livres de JBHU il y a quelques années de cela, épuisés donc à trouver dans des biblis.

Sinon pour un cas de non qualification, voici une situation où la conclusion de KKT (sans Lagrangien augmenté) est fausse ; de ce fait, aucune des conditions de qualification ne sera satisfaite (on en trouve des kilos dans la littérature) : maximiser la fonction identité sur $C=\{ x ; (x-1)^2 \leq 0\}$.