Convergence absolue d'une série de Hardy
Bonjour,
Je me demande si pour certaines valeurs de $\alpha \in\, \big]\frac{1}{2},1\big]$ on a (ou pas) convergence absolue de la série de terme général $\dfrac{\sin \sqrt{n}}{n^\alpha}$.
J'ai bien la preuve de la convergence pour tout $\alpha$ dans cet intervalle par comparaison série-intégrale, en revanche aucune information sur la convergence absolue.
Je me demande si pour certaines valeurs de $\alpha \in\, \big]\frac{1}{2},1\big]$ on a (ou pas) convergence absolue de la série de terme général $\dfrac{\sin \sqrt{n}}{n^\alpha}$.
J'ai bien la preuve de la convergence pour tout $\alpha$ dans cet intervalle par comparaison série-intégrale, en revanche aucune information sur la convergence absolue.
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Réponses
$\sum_{k=1}^\infty f(k)$ et $\int_1^\infty f(x) \, dx$ sont de meme nature si $f'$ est absolument intégrable sur $[1,+\infty[$
On montre ensuite, en utilisant les accroissements finis, que la série de terme général $\displaystyle \frac{\sin \sqrt{n}}{n^\alpha} - \int_n^{n+1} \frac{\sin \sqrt{t}}{t^\alpha} dt$ converge elle aussi.
D'où la convergence de la série initiale.
Demeure ma question : a-t-on (ne serait-ce que par curiosité) convergence absolue pour certaines valeurs de $\alpha$ ?
( $|\sin \sqrt{n}|\geq \sin^2 \sqrt{n}=\frac 12(\sqrt{n}-\cos2\sqrt{n})$
edit ( $|\sin \sqrt{n}|\geq \sin^2 \sqrt{n}=\frac 12(1-\cos2\sqrt{n})$
Merci d'avance !