Propriétés d´un espace de Banach
J´hésite sur l´exercice suivant, merci de votre aide.
On note $\ell^2$ l’espace des suites réelles $x = (x_n)_{n > 0}$ telles que $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_n^2 < +\infty$, et pour tout $x = (x_n)_{n \geq 0}$, on pose $||x|| = \big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_n^2\big)^{1/2}$.
On définit $S = \{ x^2 \in \ell^2 \mid ||x|| = 1 \}$.
L’espace métrique $(S, d)$ est-il compact, complet, connexe ?
On m´indique d´utiliser d´utiliser $S \times [0,1] \to \ell_2,\ (x, \lambda)\mapsto \lambda x.$
On note $\ell^2$ l’espace des suites réelles $x = (x_n)_{n > 0}$ telles que $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_n^2 < +\infty$, et pour tout $x = (x_n)_{n \geq 0}$, on pose $||x|| = \big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_n^2\big)^{1/2}$.
On définit $S = \{ x^2 \in \ell^2 \mid ||x|| = 1 \}$.
L’espace métrique $(S, d)$ est-il compact, complet, connexe ?
On m´indique d´utiliser d´utiliser $S \times [0,1] \to \ell_2,\ (x, \lambda)\mapsto \lambda x.$
Réponses
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Je t'aide, l'indication te permet de répondre aux questions "compact" et "connexe", vois-tu le lien ? Pour la complétude, c'est élémentaire.
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Bon je me lance, je ne vois pas trop pour l´application indiquée.
Pour la complétude, l´espace $S$ muni de la distance correspondant à la norme indiquée est complet car tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sont complets.
Pour la compacité, le théorème de Riesz dit que la boule unité est fermée sur cet espace. $S$ est un fermé borné de la boule unité donc compact.
Pour la connexité, la sphére unité est connexe par arcs donc connexe. Elle est connexe par arcs, car d´un point A et B et du centre O on peut faire passer un plan P qui contient donc le cercle reliant A à B.
Merci de ton aide Poirot. -
Crois-tu que $S$ soit un espace vectoriel normé de dimension finie ?
Pour la compacité, justement tu n'es pas en dimension finie donc le théorème de Riesz (si tu l'as vu dans ce sens) te dit que la boule unité n'est pas compacte ! Le théorème de Riesz ne dit pas que le boule unité est fermée, mais que, par exemple, la boule unité fermée (les vecteurs de norme $\leq 1$) en dimension finie est compacte. Et la réciproque est vraie.
Enfin, ton raisonnement pour la connexité est plus que bancal, tu n'es pas en dimension $3$, donc pas d'histoire de plans et de cercles.
Il faudrait que tu reprennes ton cours puisque tu as l'air de tout mélanger là ! $\ell^2$ est un espace vectoriel normé de dimension infinie. Si ce n'est pas clair pour toi, tu peux le montrer en cherchant une famille libre infinie de cet espace. Ensuite $S$ est une partie de $\ell^2$ mais ce n'en est pas un sous-espace vectoriel, encore moins de dimension finie. Pour la compacité, il faut te servir de l'indication, en te souvenant que l'image d'un compact par une application continue est un compact. -
@Poirot Pour moi son raisonnement pour la connexité fonctionne : on se restreint à un plan vectoriel contenant nos deux points, on se retrouve dans un espace euclidien de dimension 2 et là on peut parler de cercle.
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@Champ-Pot-Lion : comment sais-tu qu'un tel plan intersecte la sphère en un "cercle" ?
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Le produit scalaire restreint au plan lui donne une structure d'espace euclidien.
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D´accord, donc pour la complétude, on dit que puisque $S$ est une partie fermée de $ (\ell^2, ||.||)$ donc $(S,d)$ est complet.
Pour la compacité, $S \times [0,1]$ est le produit de deux espaces compacts donc compact. et la fonction $S \times [0,1] \to \ell_2,\ (x, \lambda)\mapsto \lambda x.$ étant continue, $(S, d)$ l´image de $(S, [0,1])$ est compact.
Merci de votre aide. -
Euh c'est quoi l'image de ton application ?
Sinon oui c'est ça pour la complétude. Pour la connexité les autres intervenants ont l'air de dire que c'est bon, mais je pense que ce n'était pas vraiment la réponse attendue. -
l´image de l´application serait une suite réelle $\lambda x$ définie sur $ \ell^2$
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Je ne te demande pas l'image d'un élément mais l'image de l'application, est-ce que tu saisis la différence ? Tu n'as pas terminé la question sur la compacité !
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oui, je suis d´accord j´essaie encore de prouver la compacité.
Alors, l´image est dans $\ell^2$, ce serait $(S, \lambda ||.||)$ -
Qu'est-ce que $(S,\lambda||.||)$ peu bien vouloir dire ? L'image d'une application est l'ensemble des images d'éléments de son ensemble de définition.
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d´accord, ce serait $(S,\lambda d)$
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Ça ne veut toujours rien dire. On te demande un sous-ensemble de $\ell^2$, déjà, ce que tu donnes est un couple. Déjà ça voudrait dire quoi $\lambda d$ alors que $\lambda$ n'est pas défini.
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bon , je réessaie
l´ensemble d´arrivée serait $g= \{x \in \ell^2 | \mid ||x|| \leq 1 \}$ -
Oui, c'est ça.
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d´accord et donc il serait compact car image par une application continue d´un compact $S \times [0,1]$
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Oui. Est-ce qu'il est compact ?
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oui, l´ensemble d´arrivée est compact. Pour revenir à la question de départ $(S,d)$ est donc compact.
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Sauf que c'est faux.
Premièrement, parce que la boule unité de $l^2$ n'est pas compacte
Deuxièmement (et c'est selon moi une erreur plus grave), même si la boule unité de $l^2$ était compacte, ça n’entrainerai pas (en tout cas pas avec cet argument) que $S$ est compact : ça n'est pas parce que l'image de truc par une fonction continue est compacte que truc est compact. Contre exemple simple :
L'image de $\mathbb{R}$ par la fonciton $\sin$ est $[-1,1]$ qui est compact, mais $\mathbb{R}$ n'est pas compact -
@grtl : il va sérieusement falloir revoir les nuances entre la dimension finie et la dimension infinie. Pourtant l'énoncé du théorème de Riesz est on ne peut plus simple : en dimension finie, la boule unité fermée est compacte, en dimension infinie, elle ne l'est pas.
Et comme l'a fort justement signalé Tryss, ton erreur de raisonnement est plus grave. Tu dis "l'image d'un compact par une application continue est un compact, donc l'image de $f : (x, \lambda) \mapsto \lambda x$ de $S \times [0, 1]$ dans $\ell^2$ est compacte". Tout d'abord, tu ne sais pas si ton espace de départ, $S \times [0, 1]$ est compact, c'est essentiellement ce que tu veux établir (ou non). Ensuite, même si l'image de $f$ était compacte (ce qui n'est encore une fois pas le cas d'après Riesz), tu ne peux pas en déduire que l'espace de départ l'est, l'image réciproque d'un compact par une application continue n'a aucune raison d'être compacte, il suffit de regarder les applications constantes. -
On va y arriver. Donc, l´ensemble d´arrivée serait la boule unité fermée qui n´est pas compacte car l´espace d´arrivée est de dimension infinie, d´après Riesz. Donc, $S$ n´est pas compact .
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Oui c'est ça !
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pfew, merci de votre aide a tous.
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