Raisonnement avec le théorème spectral
Bonjour,
Voici le raisonnement que je viens de faire, et il m'a l'air douteux : soit $T$ un opérateur auto-adjoint dans un espace de Hilbert $H$ et $f$ une fonction borélienne. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, et $x \in H$ tels que $Tx=\lambda x$, j'aimerais en déduire que $f(T)x=f(\lambda)x$. Comment montrer cela simplement, en utilisant le théorème spectral ?
Voilà ce que j'ai commencé à faire : pour $V=Vect(x)$ qui est un espace fermé dans le Hilbert $H$ est donc un Hilbert aussi muni du même produit scalaire. Alors le calcul fonctionnel borélien assure que $f(T)=f(\lambda)$ sur $V$, d'où le résultat.
Seul problème avec cela : vu qu'on change d'espace de Hilbert, il n'est pas clair que le $f(T)$ construit dans $H$ soit le même sur $V$ que le $f(T)$ construit sur $V$ ...
Un remède ? Je me dis que on peut approcher $f$ par des fonctions continues $f_n$ pour lesquelles le calcul fonctionnel continu (qui s'exprime sous forme intégrale) donne $f_n(T)x=\lambda x$ puis $f_n(T) \to f(T)$ ponctuellement.
Est-ce qu'il y a quelque chose de plus compact comme argument ?
Voici le raisonnement que je viens de faire, et il m'a l'air douteux : soit $T$ un opérateur auto-adjoint dans un espace de Hilbert $H$ et $f$ une fonction borélienne. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, et $x \in H$ tels que $Tx=\lambda x$, j'aimerais en déduire que $f(T)x=f(\lambda)x$. Comment montrer cela simplement, en utilisant le théorème spectral ?
Voilà ce que j'ai commencé à faire : pour $V=Vect(x)$ qui est un espace fermé dans le Hilbert $H$ est donc un Hilbert aussi muni du même produit scalaire. Alors le calcul fonctionnel borélien assure que $f(T)=f(\lambda)$ sur $V$, d'où le résultat.
Seul problème avec cela : vu qu'on change d'espace de Hilbert, il n'est pas clair que le $f(T)$ construit dans $H$ soit le même sur $V$ que le $f(T)$ construit sur $V$ ...
Un remède ? Je me dis que on peut approcher $f$ par des fonctions continues $f_n$ pour lesquelles le calcul fonctionnel continu (qui s'exprime sous forme intégrale) donne $f_n(T)x=\lambda x$ puis $f_n(T) \to f(T)$ ponctuellement.
Est-ce qu'il y a quelque chose de plus compact comme argument ?
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Réponses
Il me semble un raisonnement par densité comme tu l'as dit marche
L’Égalité $f(T)x=f(\lambda)x$ est vraie pour les polynomes puisque si $f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$ alors ( Calcul fonctionnel continue) $f(T)=\Phi(f)=\sum_{k=1}^n a_k T^k$ donc $f(T)x=\sum_{k=1}^n a_k T^k x=\sum_{k=1}^n a_k \lambda^k x=(\sum_{k=1}^n a_k \lambda^k )x=f(\lambda)x$
En fait ce que tu veux démontrer c'est un théorème https://shirikyan.u-cergy.fr/m2cours4.pdf Theoreme 4.8 (ii)