Aide sur l'intégrale au sens de Lebesgue

Oui, il suffit d'utiliser la définition d'intégrabilité au sens de Lebesgue et l'appliquer à $f \mathbf 1_{[a,x]}$.

L'intégrale de Lebesgue ne parle pas de fonctions en escaliers mais de fonctions étagées. Bon de toute façon ce n'est pas la définition de l'intégrabilité de $f$, qui n'est pas supposée à valeurs positives !

$f$ est intégrable sur $[a, b]$ veut dire que $$\int_a^b |f| \,d\lambda < +\infty$$ (où $\int_a^b |f| \,d\lambda$ est définie grâce aux fonctions étagées, mais on s'en fiche ici).

Pour ta deuxième question, convergence dominée.

Bien sûr, je te fais la version complète, en pratique quand on a l'habitude des outils on simplifie certains passages.

On suppose que $f$ est intégrable au sens de Lebesgue sur $]a,b[$. Soit $F(x) = \int_a^x f$ pour $x\in [a,b]$. [size=x-small]Remarque que $F$ est bien définie en $a$ et $b$ même si $f$ ne l'est pas.[/size]

Soit $x \in [a,b]$, et $x_n$ une suite de $[a,b]$ convergente vers $x$. Soit $f_n=f.1_{[a,x_n]}$. Alors $|f_n|=|f.1_{[a,x_n]}| \leq |f.1_{[a,b]}|$, est donc intégrable, et de plus $f_n$ converge presque partout vers $f.1_{[a,x]}$ (en fait partout sauf éventuellement en $x$).

Donc d'après le théorème de convergence dominée, $F(x_n) = \int f_n \to \int f.1_{[a,x]} = F(x)$, ce qui par la caractérisation séquentielle des limites prouve que $F$ est continue en $x$.