Aide sur l'intégrale au sens de Lebesgue
Réponses
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Oui, il suffit d'utiliser la définition d'intégrabilité au sens de Lebesgue et l'appliquer à $f \mathbf 1_{[a,x]}$.
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Ok, donc il existe une suite de fonction en escalier (fi)[small]k[/small] telle que la limite de f - (fi) =0
Comment restreindre cela à un intervalle plus petit ? -
L'intégrale de Lebesgue ne parle pas de fonctions en escaliers mais de fonctions étagées. Bon de toute façon ce n'est pas la définition de l'intégrabilité de $f$, qui n'est pas supposée à valeurs positives !
$f$ est intégrable sur $[a, b]$ veut dire que $$\int_a^b |f| \,d\lambda < +\infty$$ (où $\int_a^b |f| \,d\lambda$ est définie grâce aux fonctions étagées, mais on s'en fiche ici). -
Ok Merci, donc il suffit de dire qu'étant fini sur [a,b] elle l'es aussi pour un intervalle inclut ?
Ma deuxième question est la suivante Montrer que la fonction F:[a,b] -> R , F(x)= intégral de a à x de f(t)dt, est continue ?
PS: il y a un tuto pour insérer le language codé sur le forum ?
Merci -
Pour ta deuxième question, convergence dominée.
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Bonjour, oui mais je ne vois pas le lien avec la convergence dominée, pourrais-je avoir un peu plus d'explications ?
Merci -
Bien sûr, je te fais la version complète, en pratique quand on a l'habitude des outils on simplifie certains passages.
On suppose que $f$ est intégrable au sens de Lebesgue sur $]a,b[$. Soit $F(x) = \int_a^x f$ pour $x\in [a,b]$. [size=x-small]Remarque que $F$ est bien définie en $a$ et $b$ même si $f$ ne l'est pas.[/size]
Soit $x \in [a,b]$, et $x_n$ une suite de $[a,b]$ convergente vers $x$. Soit $f_n=f.1_{[a,x_n]}$. Alors $|f_n|=|f.1_{[a,x_n]}| \leq |f.1_{[a,b]}|$, est donc intégrable, et de plus $f_n$ converge presque partout vers $f.1_{[a,x]}$ (en fait partout sauf éventuellement en $x$).
Donc d'après le théorème de convergence dominée, $F(x_n) = \int f_n \to \int f.1_{[a,x]} = F(x)$, ce qui par la caractérisation séquentielle des limites prouve que $F$ est continue en $x$. -
Ton but est de montrer que si $(x_n)_n$ est une suite d'éléments de $[a, b]$ convergeant vers $x$, alors $$\int_a^{x_n} f d\lambda \underset{n \to + \infty}{\to} \int_a^{x} f d\lambda,$$ tu es d'accord ? Ceci se traduit facilement en une question de convergence d'intégrales sur $[a, b]$, ce qui se traite par convergence dominée.
EDIT : grillé par skyffer3, qui a tout fait.
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