EDP
Bonjour,
Je suis coincé sur cet exercice( Je sais que la méthode des caractéristique est utile ici) qui serait à une équation de transport non homogène.
J'attends vos remarques et orientations.
[Ta question n'a pas vraiment sa place en Algèbre. Poirot]
Je suis coincé sur cet exercice( Je sais que la méthode des caractéristique est utile ici) qui serait à une équation de transport non homogène.
J'attends vos remarques et orientations.
Soient $f: I\times\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ et $g: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$
Soit l'équation aux dérivées partielles suivante:
$
\left\{
\begin{array}{r c l}
\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)+b.\nabla u_{x}(t,x)&=&f(t,x)\\
u(0,x)&=&g(x)\\
\end{array}
\right.
$
Avec $b$ un vecteur constant de $\mathbb{R}^{n}$ ,$\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$
Montrer que la fonction $u$ est solution si et seulement si $u$ la fonction donnée par:
Soit l'équation aux dérivées partielles suivante:
$
\left\{
\begin{array}{r c l}
\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)+b.\nabla u_{x}(t,x)&=&f(t,x)\\
u(0,x)&=&g(x)\\
\end{array}
\right.
$
Avec $b$ un vecteur constant de $\mathbb{R}^{n}$ ,$\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$
$ u : I\times\mathbb{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par :
$ u(t,x)= g(x-tb)+\int \limits_{0}^{t}{f(s,x+(s-t)b)ds}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et vérifie l'équation.
$ u(t,x)= g(x-tb)+\int \limits_{0}^{t}{f(s,x+(s-t)b)ds}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et vérifie l'équation.
[Ta question n'a pas vraiment sa place en Algèbre. Poirot]
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Réponses
Ensuite on pose $\tilde{u}(t,x) = u(t,x) + h(t,x)$ une autre solution du système, cela entraine que
$
\left\{
\begin{array}{r c l}
\frac{\partial h}{\partial t}(t,x)+b.\nabla h_{x}(t,x)&=&0\\
h(0,x)&=&0\\
\end{array}
\right.
$
On applique alors la méthode des caractéristiques à cette équation.
Vu qu'il s'agit d'une équation de transport tout ce qu'il y a de plus banal, je ne vais pas refaire ici la démo classique, un exemple ici :
Exemple de résolution
On en déduit finalement que $h$ est forcément nul, et donc que toute solution est égale à $u$.
Au fait, qu'est-ce qui prouve que le $u$ donné là est de classe $\mathcal{C}^{1}$ (surtout le second terme avec l'intégrale qui me fatigue) et comment dériver le terme avec l'intégrale ?