Démonstration d'un théorème de projection

Bonsoir
Dans la démonstration d'un théorème de projection, il y a une étape qui m'échappe.

Soit $F$ un sous espace vectoriel de $H$ un espace de Hilbert. Soit $x$ dans $H$ et $y$ son projeté sur $F$.
Le but est de démontrer que $y$ est l'unique point de $F$ tel que $x-y \in F^{\bot}$ et $y \in F$.
La caractérisation du projeté donne $Re(x-y,z-y)\leq 0,\ \forall z \in F$.
On va se servir de cette caractérisation pour montrer l'implication.
Le cas réel, je l'ai compris. Mais dans le cas complexe, on pose dans un premier temps $z=y+\lambda \omega,\ \lambda \in \R,\ \omega \in F$
Et on obtient une inégalité similaire au cas réel.

On en arrive enfin au point qui me pose problème. On pose cette fois ci $z=y+i\lambda \omega$, et on obtient : $$\lambda Im(x-y,\omega)=Re(x-y,i \lambda \omega).
$$ Je ne comprends pas comment on obtient cette égalité, pouvez-vous m'indiquer une piste pour clarifier les choses s'il vous plaît ?