équivalence entre deux équations

Bonjour.

En quoi doutes-tu ? Car si tu examines vraiment ce que tu as écrit, tu es assez intelligent pour conclure toi-même.

Cordialement.

À strictement parler, l'équivalence n'a pas de sens. On a implicitement fixé un $x$ réel (ou complexe ?) et on se demande si deux égalités sont équivalentes. Il aurait mieux valu expliciter ce choix de $x$.

La variable $u$ est une variable libre mais elle n'est pas définie par ailleurs. Si on fixe $u$ en même temps que $x$, ça devient faux évidemment. Il faut donc rendre $u$ muette, la choisir uniquement pour la deuxième partie de l'équivalence. Cela donne, pour $x$ complexe non nul fixé :
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0\iff\exists u\in\C,\ \begin{cases}\displaystyle u=x+\frac{1}{x}\\\displaystyle u^2+u+1=0.\end{cases}$$

Et là, il n'y a plus de place pour hésiter. Pour « le sens direct », si $x$ est solution de l'équation, on pose $u=x+1/x$, ce qui prouve l'égalité de droite. Pour « la réciproque », s'il existe un $u$, alors, en reportant $u=x+1/x$ dans l'équation $u^2+u+1=0$, on voit que l'égalité de gauche est vraie.