Convergence intégrale avec Arctan

Bonjour
Je "traite" un petit exercice d'intégrale indéfinie:

En 1) je dois déterminer la nature de: $$I =\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan(t)}{t} \mathrm{d}t $$ Ce que j'ai fait comme ceci :
D'abord qq soit t >0 on a que f(t) = Arctan(t)/t = 0 et on peut réaliser une prolongation par continuité en t = 0 avec f(t) = 1.

La lim en +inf de Arctan(t) = Pi/4, et qd t tend vers + Inf alors I ˜ K/t avec k = Pi/2. C'est un équivalent de signe constant positif. L'intégrale de 1/t (entre 1 et + inf) diverge. Le critère de comparaison par équivalence s'applique et on a :
L'intégrale de f(t)dt (entre 1 et + inf) diverge et l'intégrale de f(t)dt (entre 0 et + inf) diverge. Rem: entre 1 et + inf I se calcule bien sur (on a F = Pi/2.ln(x) .. ) mais comme je dois prendre en compte la borne inf = 0 je ne peux pas l'utiliser).

En 2), je dois déterminer la nature de : $$
J = \int_{0}^{+\infty} \dfrac {\arctan(t)-\dfrac{\pi}{2} } {t} \mathrm{d}t
$$ Heu .. là j'ai un doute: puis-je "simplement" dire que en +inf l'intégrale J ˜ Pi/2t - Pi/2t .. soit 0 ? Je sens que je dois le faire plus rigoureusement !

En 3), je dois déterminer la nature de : $$
K = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan(t)} {t} - \dfrac{\pi}{2(1+t)} \mathrm{d}t
$$ a) Montrer que la fonction à intégrer g(t) est prolongeable par continuité en 0: je trouve que g est prolongeable en posant g(0) = 1- pi/2.

b) En utilisant la formule valable pour tous x>0 : Arctan(t) + Arctan(1/t) = Pi/2 effectuer un développement limité d'ordre 2 de f au voisinage de l'infini et en déduite que K est convergente.

Un avis/commentaire serait bienvenu sur la méthode : On connait un DL de Arctan au voisinage de 0. Si x tend vers + inf alors 1/x tend vers 0 et on va utiliser le DL en 0 de "Pi/2 - Arctan(1/t)" puisque Pi/2 - Arctan(1/t)= Arctan(t). Il faut alors calculer le DL à l'ordre 2 de g(t) et regarder la lim en + inf du DL obtenu pour voir si on a bien une limite finie .. ?.
E

[Discussion transférée en Analyse. AD]