Convergence intégrale avec Arctan
Bonjour
Je "traite" un petit exercice d'intégrale indéfinie:
En 1) je dois déterminer la nature de: $$I =\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan(t)}{t} \mathrm{d}t $$ Ce que j'ai fait comme ceci :
D'abord qq soit t >0 on a que f(t) = Arctan(t)/t = 0 et on peut réaliser une prolongation par continuité en t = 0 avec f(t) = 1.
La lim en +inf de Arctan(t) = Pi/4, et qd t tend vers + Inf alors I ˜ K/t avec k = Pi/2. C'est un équivalent de signe constant positif. L'intégrale de 1/t (entre 1 et + inf) diverge. Le critère de comparaison par équivalence s'applique et on a :
L'intégrale de f(t)dt (entre 1 et + inf) diverge et l'intégrale de f(t)dt (entre 0 et + inf) diverge. Rem: entre 1 et + inf I se calcule bien sur (on a F = Pi/2.ln(x) .. ) mais comme je dois prendre en compte la borne inf = 0 je ne peux pas l'utiliser).
En 2), je dois déterminer la nature de : $$
J = \int_{0}^{+\infty} \dfrac {\arctan(t)-\dfrac{\pi}{2} } {t} \mathrm{d}t
$$ Heu .. là j'ai un doute: puis-je "simplement" dire que en +inf l'intégrale J ˜ Pi/2t - Pi/2t .. soit 0 ? Je sens que je dois le faire plus rigoureusement !
En 3), je dois déterminer la nature de : $$
K = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan(t)} {t} - \dfrac{\pi}{2(1+t)} \mathrm{d}t
$$ a) Montrer que la fonction à intégrer g(t) est prolongeable par continuité en 0: je trouve que g est prolongeable en posant g(0) = 1- pi/2.
b) En utilisant la formule valable pour tous x>0 : Arctan(t) + Arctan(1/t) = Pi/2 effectuer un développement limité d'ordre 2 de f au voisinage de l'infini et en déduite que K est convergente.
Un avis/commentaire serait bienvenu sur la méthode : On connait un DL de Arctan au voisinage de 0. Si x tend vers + inf alors 1/x tend vers 0 et on va utiliser le DL en 0 de "Pi/2 - Arctan(1/t)" puisque Pi/2 - Arctan(1/t)= Arctan(t). Il faut alors calculer le DL à l'ordre 2 de g(t) et regarder la lim en + inf du DL obtenu pour voir si on a bien une limite finie .. ?.
E
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Je "traite" un petit exercice d'intégrale indéfinie:
En 1) je dois déterminer la nature de: $$I =\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan(t)}{t} \mathrm{d}t $$ Ce que j'ai fait comme ceci :
D'abord qq soit t >0 on a que f(t) = Arctan(t)/t = 0 et on peut réaliser une prolongation par continuité en t = 0 avec f(t) = 1.
La lim en +inf de Arctan(t) = Pi/4, et qd t tend vers + Inf alors I ˜ K/t avec k = Pi/2. C'est un équivalent de signe constant positif. L'intégrale de 1/t (entre 1 et + inf) diverge. Le critère de comparaison par équivalence s'applique et on a :
L'intégrale de f(t)dt (entre 1 et + inf) diverge et l'intégrale de f(t)dt (entre 0 et + inf) diverge. Rem: entre 1 et + inf I se calcule bien sur (on a F = Pi/2.ln(x) .. ) mais comme je dois prendre en compte la borne inf = 0 je ne peux pas l'utiliser).
En 2), je dois déterminer la nature de : $$
J = \int_{0}^{+\infty} \dfrac {\arctan(t)-\dfrac{\pi}{2} } {t} \mathrm{d}t
$$ Heu .. là j'ai un doute: puis-je "simplement" dire que en +inf l'intégrale J ˜ Pi/2t - Pi/2t .. soit 0 ? Je sens que je dois le faire plus rigoureusement !
En 3), je dois déterminer la nature de : $$
K = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan(t)} {t} - \dfrac{\pi}{2(1+t)} \mathrm{d}t
$$ a) Montrer que la fonction à intégrer g(t) est prolongeable par continuité en 0: je trouve que g est prolongeable en posant g(0) = 1- pi/2.
b) En utilisant la formule valable pour tous x>0 : Arctan(t) + Arctan(1/t) = Pi/2 effectuer un développement limité d'ordre 2 de f au voisinage de l'infini et en déduite que K est convergente.
Un avis/commentaire serait bienvenu sur la méthode : On connait un DL de Arctan au voisinage de 0. Si x tend vers + inf alors 1/x tend vers 0 et on va utiliser le DL en 0 de "Pi/2 - Arctan(1/t)" puisque Pi/2 - Arctan(1/t)= Arctan(t). Il faut alors calculer le DL à l'ordre 2 de g(t) et regarder la lim en + inf du DL obtenu pour voir si on a bien une limite finie .. ?.
E
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Réponses
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Bonjour.
Je ne comprends pas ce que tu racontes dans :"intégrale de f(t)dt (entre 1 et + inf) diverge et l'intégrale de f(t)dt (entre 0 et + inf) diverge. Rem: entre 1 et + inf I se calcule bien sur (on a F = Pi/2.ln(x) .. ) mais comme je dois prendre en compte la borne inf = 0 je ne peux pas l'utiliser). "
L'intégrale n'a aucun problème en 0, puisque la fonction se prolonge par continuité, tu l'as dit. Donc la seule question est en +oo, et tu as dit qu'il y a divergence ...
Pour le 2, il faut que tu examines cette nouvelle intégrale, avec les deux cas en 0 et en +oo. Tu est sur que c'est à partir de 0 qu'on intègre ? Car ça n'a pas grand intérêt :-)
Pour le 3, tu as une idée de calcul, fais-le ! Il ne sert à rien de demander son chemin quand on le connaît.
Bon travail !
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