Convergence pour les suites de fonctions

Bonjour.

J'ai encore un problème dans la compréhension d'une démonstration mais cette fois je ne m'en sors pas.

Il s'agit de la démonstration du théorème suivant:

Soit $f_n [ a,b ] \mapsto \R$, $n\geq 1$ des fonctions R-intégrable qui convergent uniformément sur $[a,b]$ vers $f$. Alors $f$ est R-intégrable etc...

Pour montrer qu'elle est bien R-intégrable, on se fixe $\epsilon > 0$ et on affirme que la convergence uniforme permet de trouver un $N\geq 1$ tel que $\mid f_n (x) -f(x) \mid \leq \dfrac{\epsilon}{(b-a)}$ pour tout $x$ de $[a,b]$ pour tout $n\geq N$. On affirme ensuite que pour $n\geq$ N et pour toute subdivision $p$ de $[a,b]$:

$s_p(f)\geq s_p(f_n)-\epsilon$ et $S_p(f)\leq S_p(f_n)+\epsilon$

Où $s$ et $S$ sont les sommes de Darboux.

Je ne comprends pas ces deux inégalités, auriez vous des idées pour m'aider?

Merci d'avance.