Applications linéaires dans espace de Banach
Dans cet exercice, on note $E$ l´espace vectoriel des fonctions $f: R\to R$ de classe $C^1$ qui vérifient: $f(x+1)=f(x)$ et $\int_0^1 f(x)dx=0$.
On a montré que tout fonction $f \in E$ s´annule et que $\sup|f(x)| < \sup|f´(x)|$ et que $||f||=\sup|f´(x)|$ est une norme sur $E$.
La première question consiste à démontrer que $E$ est un espace de Banach. Je peine à montrer la complétude.
Ensuite on introduit $\phi(f)(x)=f(x)+\frac12f(\frac{x}{2})+\frac12 f(\frac{x+1}{2})$ et on démontre que $\phi(f)(x)$ est un élément de $E$.
On me demande de démontrer que $\phi(f)(x)$ est un endomorphisme continu de $E$.
J´ai répondu en disant que puisque $f$ est un élément de $E$, elle s´annule pour un $x$ donné, et donc $\phi (0)=0$ dans l´expression dessus.
$\phi$ continue en 0 éq à $\phi$ continue dans $E$. Est-ce que ça a du sens ?
Après, on me demande de montrer que $\phi(f)=g$ a une solution unique. Je considère la fonction $\phi(f)+f-g$ est je montre qu´elle admet un unique point fixe. $E$ est complet, je n´arrive pas à montrer qu´elle est contractante.
Merci de votre aide.
On a montré que tout fonction $f \in E$ s´annule et que $\sup|f(x)| < \sup|f´(x)|$ et que $||f||=\sup|f´(x)|$ est une norme sur $E$.
La première question consiste à démontrer que $E$ est un espace de Banach. Je peine à montrer la complétude.
Ensuite on introduit $\phi(f)(x)=f(x)+\frac12f(\frac{x}{2})+\frac12 f(\frac{x+1}{2})$ et on démontre que $\phi(f)(x)$ est un élément de $E$.
On me demande de démontrer que $\phi(f)(x)$ est un endomorphisme continu de $E$.
J´ai répondu en disant que puisque $f$ est un élément de $E$, elle s´annule pour un $x$ donné, et donc $\phi (0)=0$ dans l´expression dessus.
$\phi$ continue en 0 éq à $\phi$ continue dans $E$. Est-ce que ça a du sens ?
Après, on me demande de montrer que $\phi(f)=g$ a une solution unique. Je considère la fonction $\phi(f)+f-g$ est je montre qu´elle admet un unique point fixe. $E$ est complet, je n´arrive pas à montrer qu´elle est contractante.
Merci de votre aide.
Réponses
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Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy au sens de cette norme. Elle est aussi de Cauchy pour la norme $f \mapsto \sup_{x \in \mathbb{R}} \vert f(x) \vert$ d'après l'inégalité que tu as déjà, et donc elle converge uniformément d'après un résultat que tu connais déjà probablement. Et alors ?
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le résultat dont tu parles est que cette suite est convergente pour la norme $sup |f(x)|$ vers une limite $l$. Ceci nous donne que $l_e$ limite de la suite d´intéret est telle que $l \leq l_e $. Est ce qu´il faut majorer pour étabilr la convergence de la suite (et par la suite la complétude de $E$)? Merci.
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Incompréhensible !
Tu veux démontrer que $f_n$ converge dans E vers un $f\in E$
Il faut expliquer d'abord la convergence uniforme des $f_n'$Le 😄 Farceur -
D´accord. Pour cela on dit que si $f_n$ est une suite de Cauchy dans $E$, alors $\forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in N \forall p \geq n_0 \forall q \geq n_0 ||f_p-f_q|| < \epsilon$ donc $sup(f_p-f_q) \leq sup(f_p'-f_q') < \epsilon$ donc $f_n$ converge uniformément vers $f$. reste à montrer la convergence pour la dérivée..
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Tu n'expliques pas bien la convergence uniforme de $f_n$Le 😄 Farceur
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Alors puisque $sup(f_p-f_q) \leq sup(f_p'-f_q') < \epsilon$, si on fait tendre $q$ vers l´infini donc $sup(f_p-f) \leq \epsilon$ donc $f_n$ converge uniformément vers $f$. pour la suite j´hésite encore
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En particulier la dernière question où on me demande de montrer l´unicité de la solution à $\phi(f(x)) =g$. je propose de montrer que $\phi(f) +f -g$ est contractante mais je n´y arrive pas.
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Il manque un petit chwiya pour justifier la convergence uniforme, d'où vient ce f ?Le 😄 Farceur
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il fallait dire que $f_n$ étant bornés et de classe $C^1$ sur $E$ donc atteignent leur limite $f$ sur $E$ ? je ne sais plus trop.
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Non :-)
Tu peux utiliser le fait qu'une suite de Cauchy dans $\R$ est convergente. Reste à savoir le comment !Le 😄 Farceur -
Ce que tu dis n'a aucun sens. Tu n'expliques toujours pas d'où sort cette fonction $f$.
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par exemple $f=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x) =\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int{f_n'(x)}$, est ce que ca a du sens?
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Heu !?Le 😄 Farceur
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je recommence. $||f_p-f_q||=\sup|f_p'-f_q'|<\epsilon$ en fixant $p$ et faisant tendre $q$ vers l´infini $\sup|f_p'-f´|=0$ donc $f_p´$ tend vers la limite $f´$. et $f_p$ tend vers la primitive de $f´$.
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On fixe $x$ dans $\R$, peux-tu démontrer que les suites $(f_n(x))_n$ et $(f'_n(x))_n$ sont des suites de Cauchy dans $\R$Le 😄 Farceur
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Non, non, non. Tu ne peux pas être convaincu.e par ce que tu écris. Arrête d'écrire des trucs qui n'ont pas de sens. Il n'y a de $\epsilon$, de $f$, de $f'$, de $p$, de $q$, nulle part.
Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de ton ensemble, dont on suppose qu'elle est de Cauchy pour ta norme $\Vert \cdot \Vert_{lala}$ (je l'appelle ainsi pour la différencier de la norme $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ qui est différente - c'est celle qui vaut, sur $f$, $\sup_{x \in \mathbb{R}} \vert f(x)\vert$). On veut démontrer qu'elle est convergente pour cette norme $\Vert \cdot \Vert_{lala}$ (afin de démontrer que l'espace est complet).
1) Démontre que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy pour $\Vert \cdot \Vert_{lala}$ implique que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy pour $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$. Ca, je l'affirme dans mon premier message, mais je ne suis pas sûr que ce soit clair pour toi.
2) Il y a un théorème qui dit qu'une suite de Cauchy pour $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ est convergente. Le connais-tu ? Si tu appliques ça à la suite des $(f'_n)_{n \in \mathbb{N}}$, qu'est-ce que ça donne ?
3) Il y a un théorème qui parle de convergence uniformes de dérivées, qui aide à répondre à la question. Est-ce que tu le connais ?
[EDIT : LaTeX corrigé]
[EDIT2 : Rajout dans mon 2).] -
d´accord c´est plus clair maintenant. Donc, $f_n'$ converge uniformément sur $E$ vers une fonction $g$ alors $f_n$ converge uniformément sur $E$ vers $f´=g$.
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