Fonctions : limites
Bonsoir,
Voici l'énoncé de deux exercices :
Exercice 1 :
Soit la fonction f définie sur R* par f(x)=-x+1+1/x.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
1)Déterminer les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.
2)Utiliser le logiciel Geogebra pour tracer les courbes Cf et la droite d'équation y=-x+1. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe Cf et la droite en plus infini et moins infini ?
Vocabulaire : On dit que la droite d'équation y=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.
Exercice 2 :
Soit la fonction f définie par f(x)=(2x²-x-2)/(2x-3) sur R privé de 3/2.
On considère la vue d'écran ci-contre qui donne la représentation graphique de la courbe Cf de la fonction f. (voir fichier joint)
1)Utiliser cette vue d'écran pour conjecturer :
a)Les limites éventuelles de f en moins infini, plus infini et 3/2.
b)Une équation de l'asymptote verticale à Cf.
2)Vérifier par le calcul les conjectures précédentes.
3)a)Quelle semble être l'allure de la courbe Cf lorsque x tend vers plus infini ou moins infini ?
b)La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x, donc comme x. On peut donc conjecturer que la courbe Cf prend la direction de la droite d'équation y=x. Construire Cf et cette droite D d'équatin y=x dans Geogebra. Que peut-on constater ?
c)Quelle modification il semble nécessaire d'effectuer pour approcher de plus près les branches infinies de la courbe Cf par une droite. Tracer également cette droite dans Geogebra.
4)a)Déterminer a, b et c tels que f(x)=ax+b+(c/(2x-3)) pour tout x différent de 3/2.
b)Déterminer les limites de f(x)-(ax+b) en plus infini et moins infini avec les valeurs de a et b trouvées dans a). Que peut-on conclure ?
J'ai réussi une bonne partie des questions. J'aimerais simplement que l'on vérifie mes réponses.
J'ai réussi toutes les questions de l'exercice 1 mais j'ai plus de doutes sur l'exercice 2 (notamment les questions 2), 3)c)). Je ne comprends pas la question 4).
Voici mes réponses :
Exercice 1 :
1)On détermine les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.
On a :
f(x)-(-x+1)=-x+1+1/x+x-1=1/x
Or, la limite de 1/x en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-.
Donc la limite de f(x) en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-.
2)VOIR FICHIER JOINT
On peut en déduire que la droite d'équation t=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.
Exercice 2 :
1)a)On peut conjecturer que la limite de f(x) est plus infini quand x tend vers plus infini, moins infini quand x tend vers moins infini et 3/2 quand x tend vers plus 3/2.
b)On peut conjecturer qu'il existe une asymptote verticale à Cf en x=3/2.
2)On vérifie par le calcul les conjectures précédentes.
On détermine les limites éventuelles de f.
En plus infini ou moins infini, un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré. Ainsi, f(x) se comporte comme 2x²/2x, soit x.
Or, la limite en x quand x tend vers plus infini est plus infini, la limite en x quand x tend vers moins infini est moins infini et la limite en x quand x tend vers 3/2 est 3/2.
Donc on a les mêmes limites pour la fonction f.
On détermine l’asymptote verticale à Cf. ????
3)a)Lorsque x tend vers plus infini ou moins infini, la courbe Cf semble prendre l'allure d'une droite.
b)VOIR FICHIER JOINT
On constate une symétrie de part et d'autre de la droite D d'équation y=x.
c)On peut approcher de plus près les branches infinies grâce à l'asymptote verticale x=3/2.
4)a) ?????
Merci beaucoup pour votre aide !
Noé
Voici l'énoncé de deux exercices :
Exercice 1 :
Soit la fonction f définie sur R* par f(x)=-x+1+1/x.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
1)Déterminer les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.
2)Utiliser le logiciel Geogebra pour tracer les courbes Cf et la droite d'équation y=-x+1. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe Cf et la droite en plus infini et moins infini ?
Vocabulaire : On dit que la droite d'équation y=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.
Exercice 2 :
Soit la fonction f définie par f(x)=(2x²-x-2)/(2x-3) sur R privé de 3/2.
On considère la vue d'écran ci-contre qui donne la représentation graphique de la courbe Cf de la fonction f. (voir fichier joint)
1)Utiliser cette vue d'écran pour conjecturer :
a)Les limites éventuelles de f en moins infini, plus infini et 3/2.
b)Une équation de l'asymptote verticale à Cf.
2)Vérifier par le calcul les conjectures précédentes.
3)a)Quelle semble être l'allure de la courbe Cf lorsque x tend vers plus infini ou moins infini ?
b)La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x, donc comme x. On peut donc conjecturer que la courbe Cf prend la direction de la droite d'équation y=x. Construire Cf et cette droite D d'équatin y=x dans Geogebra. Que peut-on constater ?
c)Quelle modification il semble nécessaire d'effectuer pour approcher de plus près les branches infinies de la courbe Cf par une droite. Tracer également cette droite dans Geogebra.
4)a)Déterminer a, b et c tels que f(x)=ax+b+(c/(2x-3)) pour tout x différent de 3/2.
b)Déterminer les limites de f(x)-(ax+b) en plus infini et moins infini avec les valeurs de a et b trouvées dans a). Que peut-on conclure ?
J'ai réussi une bonne partie des questions. J'aimerais simplement que l'on vérifie mes réponses.
J'ai réussi toutes les questions de l'exercice 1 mais j'ai plus de doutes sur l'exercice 2 (notamment les questions 2), 3)c)). Je ne comprends pas la question 4).
Voici mes réponses :
Exercice 1 :
1)On détermine les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.
On a :
f(x)-(-x+1)=-x+1+1/x+x-1=1/x
Or, la limite de 1/x en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-.
Donc la limite de f(x) en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-.
2)VOIR FICHIER JOINT
On peut en déduire que la droite d'équation t=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.
Exercice 2 :
1)a)On peut conjecturer que la limite de f(x) est plus infini quand x tend vers plus infini, moins infini quand x tend vers moins infini et 3/2 quand x tend vers plus 3/2.
b)On peut conjecturer qu'il existe une asymptote verticale à Cf en x=3/2.
2)On vérifie par le calcul les conjectures précédentes.
On détermine les limites éventuelles de f.
En plus infini ou moins infini, un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré. Ainsi, f(x) se comporte comme 2x²/2x, soit x.
Or, la limite en x quand x tend vers plus infini est plus infini, la limite en x quand x tend vers moins infini est moins infini et la limite en x quand x tend vers 3/2 est 3/2.
Donc on a les mêmes limites pour la fonction f.
On détermine l’asymptote verticale à Cf. ????
3)a)Lorsque x tend vers plus infini ou moins infini, la courbe Cf semble prendre l'allure d'une droite.
b)VOIR FICHIER JOINT
On constate une symétrie de part et d'autre de la droite D d'équation y=x.
c)On peut approcher de plus près les branches infinies grâce à l'asymptote verticale x=3/2.
4)a) ?????
Merci beaucoup pour votre aide !
Noé
Réponses
-
Je n'ai pas tout lu mais :
- exercice 1 : ta conclusion "Donc la limite de f(x) en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-." est fausse. Relis bien ce que tu as écrit et compare-le à ta phrase précédente...
- exercice 2 : ton fichier Geogebra est faux... encore une fois, relis-toi. -
bonjour
ta fonction f de l'exercice 2 s'écrit : $f(x) =\frac{2x^2 - x - 2}{2x - 3}$
on te demande une décomposition de cette fraction avec x différent de 3/2 :
tu peux faire une division polynomiale de 2x² - x - 2 par 2x - 3
tu obtiens $$\frac{2x^2 - x - 2}{2x-3} = x + 1 + \frac{1}{2x - 3}$$
ou bien par identification des monômes au numérateur des fractions :
$\frac{2x^2 - x - 2}{2x - 3} = ax + b + \frac{c}{2x - 3} = \frac{2ax^2 + x (-3a + 2b) - 3b + c}{2x - 3}$
tu trouves bien : a = 1, b = 1 et c = 1
cordialement -
en géogebra : x^2 pour le carré de x
La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x, donc comme x.
ce comportement ne marche pas au voisinage de 3/2 !
le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers un nombre réel non nul : c'est une forme déterminée -
Est-ce que le premier exercice est correct ? Ne faut-il pas mettre autre chose dans la constatation de l'exercice 1 ?
Pour l'exercice 2, ais-je trouver les bonnes limites dans la question 1)a et 1)b ??? Je ne comprends pas ce qu'a écrit jean lismonde ... -
Noé,
"Est-ce que le premier exercice est correct ?" Lis les réponses !!
"Pour l'exercice 2, ais-je trouver les bonnes limites dans la question 1)a et 1)b" Comme ton fichier géogébra n'est pas bon (dixit Roumegaire), il faut reprendre ce travail. En tout cas, comme le sous-entend Said Fubini, ta limite en 3/2 est fausse.
Cordialement. -
Oui, il n'y a pas de limite en 3/2 ! c'est ça ??
Il y a une limite à gauche (en 3/2-) et une limite à droite (en 3/2+). -
J'ai réussi à corriger mon fichier geogebra !
-
jean lismonde écrivait :
> ou bien par identification des monômes au numérateur des fractions :
> $\dfrac{2x^2 - x - 2}{2x - 3} = ax + b + \dfrac{c}{2x - 3} = \dfrac{2ax^2 + x (-3a + 2b) - 3b + c}{2x - 3}$
> tu trouves bien : a = 1, b = 1 et c = 1
Quelqu'un peut-il m'expliquer cela ? -
Merci pour vos réponses.
J'ai réussi toutes les questions sauf la 3)b) et la 3)c).
Pour les questions 4, j'ai trouvé :
a=1, b=1 et c=1 en résolvant l'équation
Pour le petit b), je trouve que la limite de f(x)-(x+1) est -3 en plus infini et moins infini. Est-ce cela ? Je ne sais pas ce qu'il faut mettre dans "Que peut-on en conclure" ?
Merci et bonne soirée,
Nonimamie
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