Fonctions : limites

Bonsoir,

Voici l'énoncé de deux exercices :

Exercice 1 :
Soit la fonction f définie sur R* par f(x)=-x+1+1/x.

On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

1)Déterminer les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.

2)Utiliser le logiciel Geogebra pour tracer les courbes Cf et la droite d'équation y=-x+1. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe Cf et la droite en plus infini et moins infini ?

Vocabulaire : On dit que la droite d'équation y=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.

Exercice 2 :

Soit la fonction f définie par f(x)=(2x²-x-2)/(2x-3) sur R privé de 3/2.

On considère la vue d'écran ci-contre qui donne la représentation graphique de la courbe Cf de la fonction f. (voir fichier joint)

1)Utiliser cette vue d'écran pour conjecturer :
a)Les limites éventuelles de f en moins infini, plus infini et 3/2.
b)Une équation de l'asymptote verticale à Cf.

2)Vérifier par le calcul les conjectures précédentes.

3)a)Quelle semble être l'allure de la courbe Cf lorsque x tend vers plus infini ou moins infini ?

b)La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x, donc comme x. On peut donc conjecturer que la courbe Cf prend la direction de la droite d'équation y=x. Construire Cf et cette droite D d'équatin y=x dans Geogebra. Que peut-on constater ?

c)Quelle modification il semble nécessaire d'effectuer pour approcher de plus près les branches infinies de la courbe Cf par une droite. Tracer également cette droite dans Geogebra.

4)a)Déterminer a, b et c tels que f(x)=ax+b+(c/(2x-3)) pour tout x différent de 3/2.

b)Déterminer les limites de f(x)-(ax+b) en plus infini et moins infini avec les valeurs de a et b trouvées dans a). Que peut-on conclure ?

J'ai réussi une bonne partie des questions. J'aimerais simplement que l'on vérifie mes réponses.
J'ai réussi toutes les questions de l'exercice 1 mais j'ai plus de doutes sur l'exercice 2 (notamment les questions 2), 3)c)). Je ne comprends pas la question 4).

Voici mes réponses :

Exercice 1 :

1)On détermine les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.
On a :
f(x)-(-x+1)=-x+1+1/x+x-1=1/x

Or, la limite de 1/x en plus infini est 0⁺ et en moins infini est 0^-.

Donc la limite de f(x) en plus infini est 0⁺ et en moins infini est 0^-.

2)VOIR FICHIER JOINT

On peut en déduire que la droite d'équation t=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.

Exercice 2 :

1)a)On peut conjecturer que la limite de f(x) est plus infini quand x tend vers plus infini, moins infini quand x tend vers moins infini et 3/2 quand x tend vers plus 3/2.

b)On peut conjecturer qu'il existe une asymptote verticale à Cf en x=3/2.

2)On vérifie par le calcul les conjectures précédentes.

On détermine les limites éventuelles de f.

En plus infini ou moins infini, un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré. Ainsi, f(x) se comporte comme 2x²/2x, soit x.
Or, la limite en x quand x tend vers plus infini est plus infini, la limite en x quand x tend vers moins infini est moins infini et la limite en x quand x tend vers 3/2 est 3/2.

Donc on a les mêmes limites pour la fonction f.

On détermine l’asymptote verticale à Cf. ????

3)a)Lorsque x tend vers plus infini ou moins infini, la courbe Cf semble prendre l'allure d'une droite.

b)VOIR FICHIER JOINT

On constate une symétrie de part et d'autre de la droite D d'équation y=x.

c)On peut approcher de plus près les branches infinies grâce à l'asymptote verticale x=3/2.

4)a) ?????

Merci beaucoup pour votre aide !
Noé