Rayon de convergence (bis)
dans Analyse
Re,
J'ai une autre question sur le rayon de convergence. Si une suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence $u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) u_n$, est-il possible d'avoir le RC de $\sum \frac{u_n}{n!}$ directement ?
Par analyse synthèse, j'ai une expression de $(u_n)$ qui mène à un RC supérieur à $1$ mais je ne vois pas comment faire mieux... Une idée?
J'ai une autre question sur le rayon de convergence. Si une suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence $u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) u_n$, est-il possible d'avoir le RC de $\sum \frac{u_n}{n!}$ directement ?
Par analyse synthèse, j'ai une expression de $(u_n)$ qui mène à un RC supérieur à $1$ mais je ne vois pas comment faire mieux... Une idée?
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Réponses
Cela dit, la majoration est vraiment faible, je ne serais pas étonné que le rayon soit infini.
On peut montrer que si $u_0=u_1=K$ alors $f(z)=Ke^{z+z^2/2}$ ce qui prouve que le RC peut être infini
Tout d'abord merci à tous.
OK pour les eq diffs et les expressions explicites. Mais en quoi cela assure-t-il que le RC est infini? Par le produit de Cauchy, on trouve : $$
u_n = \sum_{k=0}^{\mathrm{ent}( \frac{n}{2} )} \dfrac{n!}{2^k k!(n-2k)!}
$$ On a bien sûr $u_n \leqslant C n!$ d'où le fait qu'il vaut au moins $1$.
Malheureusement, je suis déçu comme Math Cross que l'on ne puisse pas le trouver a priori... Mais tant que la méthode fonctionne cela convient!
$u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) u_n$ c'est très différent de $v_{n+2} = v_{n+1} + (n+1) v_{n+1}$.
Dans le premier cas $\frac{u_{n+2}}{u_n} = \mathcal{O}(n)$ donc $u_n = \mathcal{O}(C^n (n/2)!)$ et le rayon de convergence de $\sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{n!} z^n$ est infini.
Dans le second $\frac{v_{n+2}}{v_n} = \mathcal{O}(n^2)$ donc $v_n = \mathcal{O}(C^n n!)$ et le rayon de convergence de $\sum_{n=0}^\infty \frac{v_n}{n!} z^n$ est fini.