Rayon de convergence (bis)

Yann Le Gac
Yann Le Gac
dans Analyse
Re,

J'ai une autre question sur le rayon de convergence. Si une suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence $u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) u_n$, est-il possible d'avoir le RC de $\sum \frac{u_n}{n!}$ directement ?

Par analyse synthèse, j'ai une expression de $(u_n)$ qui mène à un RC supérieur à $1$ mais je ne vois pas comment faire mieux... Une idée?

Réponses

  • Said Fubini
    Said Fubini
    tu veux dire le RC de $\sum \frac{u_n}{n!}z^n$ ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Soit $a_n=u_n/n!$ pour tout $n$. De $u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) u_n$, on tire $a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_n}{n+2}$. En particulier, $|a_{n+2}|\le|a_{n+1}|+|a_n|$ donc $|a_n|\le C\phi^n$ où $\phi=(1+\sqrt5)/2$ et $C$ est une constante convenable. En particulier, le rayon de convergence est strictement positif.

    Cela dit, la majoration est vraiment faible, je ne serais pas étonné que le rayon soit infini.
  • Said Fubini
    Said Fubini
    En posant $f(z)=\sum \frac{u_n}{n!}z^n$

    On peut montrer que si $u_0=u_1=K$ alors $f(z)=Ke^{z+z^2/2}$ ce qui prouve que le RC peut être infini
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Plus exactement $f$ est solution de $ f'(z)-(1+z)f(z)=a_1-a_0$ et le RC est infini dans tous les cas.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je pense que Yann Le Gac voulait une preuve a priori, sans utiliser une expression explicite de $u_n$.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Bonsoir.
    Tout d'abord merci à tous.

    OK pour les eq diffs et les expressions explicites. Mais en quoi cela assure-t-il que le RC est infini? Par le produit de Cauchy, on trouve : $$
    u_n = \sum_{k=0}^{\mathrm{ent}( \frac{n}{2} )} \dfrac{n!}{2^k k!(n-2k)!}
    $$ On a bien sûr $u_n \leqslant C n!$ d'où le fait qu'il vaut au moins $1$.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Pardon! L'argument d'unicité prouve que le rayon de convergence est infini...

    Malheureusement, je suis déçu comme Math Cross que l'on ne puisse pas le trouver a priori... Mais tant que la méthode fonctionne cela convient!
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne suis pas déçu, je suis paresseux, c'est différent !
  • reuns
    reuns
    @Math Coss : je n'ai pas vérifié les détails mais il me semble que

    $u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) u_n$ c'est très différent de $v_{n+2} = v_{n+1} + (n+1) v_{n+1}$.

    Dans le premier cas $\frac{u_{n+2}}{u_n} = \mathcal{O}(n)$ donc $u_n = \mathcal{O}(C^n (n/2)!)$ et le rayon de convergence de $\sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{n!} z^n$ est infini.

    Dans le second $\frac{v_{n+2}}{v_n} = \mathcal{O}(n^2)$ donc $v_n = \mathcal{O}(C^n n!)$ et le rayon de convergence de $\sum_{n=0}^\infty \frac{v_n}{n!} z^n$ est fini.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je suis d'accord, mais qu'ai-je dit « du genre $v_n$ » ?
  • reuns
    reuns
    @MathCoss Dans ton premier message fallait s'arrêter à $a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_n}{n+2}= \mathcal{O}(\frac{C}{n!})$
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