g(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y)

J'ai un truc qui ressemble à cela :

Avec cette commande :
plot3d(log(gamma(x+y+1))-log(gamma(x+1))-log(gamma(y+1)), [x,0,15], [y,0,15], [plot_format,gnuplot])$

Sous wxMaxima

Pour une preuve analytique, il faut la représentation intégrale de la fonction $\Gamma$ sur $\Re(z)>0,$ dériver deux fois sous le signe intégrale et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour $z=x>0$ à $\Gamma'(x).$ On obtient l'inégalité $\Gamma'(x)^{2}-\Gamma''(x)\Gamma(x)\leq 0.$ Ce qui est exactement écrire que $\Gamma$ est log-convexe.

Bonjour,

Autrement dit, il faut montrer que si $x,y > 1$, alors $(x+y)! > x! y!$. On peut réécrire ça

\[ \frac{\int_0^\infty x^{a+b} e^{-x} dx}{\int_0^\infty x^a e^{-x} dx} > \int_0^\infty x^b e^{-x} dx \text{.}\]

On intègre donc la fonction croissante $x^b$ selon deux mesures de probabilité, la première de densité $\frac{x^a e^{-x}}{a!}$ et la deuxième de densité $e^{-x}$. Il faut montrer que la première met la masse plus loin de $0$ que la deuxième. On peut montrer que $d_a(x) := \frac{x^a e^{-x}}{a!} - e^{-x}$ est négative puis positive, puisque d'intégrale nulle, qu'elle s'annule uniquement lorsque $x = \sqrt[a]{a!}$ et qu'elle vaut $-1$ en $0$. Soit $x_a := \sqrt[a]{a!}$ et soit $w_a := -\int_0^{x_a} d_a(x) dx$. Alors

\[\begin{eqnarray}
\int_0^\infty x^b d_a(x) dx &=& \int_0^{x_a} x^b d_a(x) dx + \int_{x_a}^\infty x^b d_a(x) dx \\
&>& - {x_a}^b w_a + {x_a}^b w_a \\
&=& 0 \text{.}
\end{eqnarray}\]

Était-ce la méthode probabiliste dont tu parlais ?