limite dans D'

Bonjour bibitem,
Il est bien connu que $y\mapsto\left\vert\dfrac{\sin(y)}y\right\vert$ n’est pas intégrable sur $\R$.

@Philippe & Cyrano, certes c'est vrai, mais le résultat semble quand même correct.

Pour le coup on doit s'en sortir en écrivant, avec $T_n = \frac{\sin (nx)}{x}$ et $\varphi$ une fonction test : $$\langle T_n , \varphi \rangle = \lim _{R \to \infty} \left( \int_{|x|\leqslant R} \sin(nx) \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x} \, \mathrm{d}x + \varphi (0) \int_{|x|\leqslant R} \frac{\sin (nx)}{x} \, \mathrm{d}x \right),$$ puis on va s'en sortir, la fonction $\psi : x \mapsto \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x}$ est encore une fonction test (ou au pire assez régulier pour le raisonnement qui va suivre) et le résultat découle alors du fait que $S_n := \sin (nx) \to 0$ dans $\mathcal{D}'$. Pour le voir, il faut intégrer par parties.

$\log|x|$ n'est pas intégrable sur $\mathbb{R}$... elle est localement intégrable. ça n'est pas du tout la même chose

Concernant le premier post, regarde ce post.

L'idée c'est que $H_n(x) = H_1(nx) = \int_{-\infty}^x n\frac{\sin(n t)}{nt} dt \to 2\pi \ 1_{x > 0}$ dans $L^1_{loc}$ et donc dans le sens des distributions.

C'est selon moi la façon la plus simple de démontrer le théorème d'inversion de Fourier, en supposant $\phi,\phi' \in L^1$.

Si quelqu'un a des idées pour : trouver des bornes pour $|\langle \phi, h_n \rangle-2\pi\phi(0)|$ permettant d'étendre à $\phi,\hat{\phi} \in L^1$, et plus généralement pour trouver le plus grand espace tel que $\lim_{n \to \infty}\langle h_n,\phi\rangle=2\pi\phi(0)$, ça m'intéresserait beaucoup.

Oui, bibitemmallogé, et c'est aussi le cas de la fonction $x\mapsto \frac{\sin(nx)}{x}$, qui est localement intégrable, mais pas intégrable sur $\mathbb{R}$...

Bah écoute, tu es bloquée sur une définition que tu ne veux pas accepter. Je ne vois pas comment on pourrait te forcer à accepter une définition que tu rejettes.

Pour dire qu'une fonction est continue en un point $x$, il est nécessaire que cette fonction soit définie en $x$.
Pour dire qu'une fonction est dérivable en un point $x$, il est nécessaire que cette fonction soit définie en $x$.
Pour dire qu'une fonction est intégrable en un point $x$, il n'est pas nécessaire que cette fonction soit définie en $x$.

Je ne sais même pas comment t'expliquer ça, c'est une définition c'est tout, quand on définit l'intégrabilité, on ne demande pas que la fonction soit définie. Si tu ne veux pas accepter cette définition, je ne vois pas comment on pourra continuer à travailler. :-D

On dirait que Bib ne sait pas que $\forall a>0, \int_0^a ln(x)dx=[x\ln(x)-x]_0^a= a\ln(a)-a$ donc le Log est bien localement integrable mais $ \int_0^{+\infty} ln(x)dx$ est divergente

Pour le $\frac {sin(\alpha x)}x$ on utilise le fait qu'au voisinage de 0 $\frac {sin(nx)}x\sim \alpha$ donc localement integrable ( par continuité sur $\R^*$)

@Poirot
On verra

@Poirot
je repete que Bib ne comprend pas pourquoi $x\to \ln(x)$ est localement integrable malgré l'explosion du Log en 0
laissons Bib s'exprimer

@Poirot : T'arrives à comprendre ce que Bib sait et ne sait pas ? Dans ce cas fais-en nous part, ça devrait permettre de rendre ces discussion interminables beaucoup plus productives.

à mon avis Bib ne "voit pas" qu'au delà de la technicité de l'intégral de Lebesgue, $L^1([a,b])$ c'est surtout la complétion des fonctions $C^0([a,b]$ pour la norme $\|f\|_{L^1([a,b])} = \int_a^b |f(x)|dx$, ie. l'espace sur lequel $f \mapsto \int_c^d f(x)dx$ est bien défini et continu en $f$ et $(c,d)$.

Pour montrer que tu as compris bib, peux-tu nous dire pourquoi $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ a un sens ? Qu'en est-il de $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ ?

Les bras m'en tombent également.

C'est un peu la faute de gebrane aussi avec sa formule lismondesque !

C'est quoi ta question exacte ?

T'as deux façons de voir la chose (pour simplifier). Soit tu passes par la notion d'intégrale impropre de Riemann, soit tu passes par l'intégrabilité au sens de Lebesgue.

Si tu veux le faire au sens de Lebesgue (vu ton niveau d'études), ça peut être intéressant de prouver d'abord la convergence de l'intégrale impropre (ça c'est très simple y'a juste à connaître la définition et calculer une primitive), puis d'utiliser le théorème de convergence monotone pour en déduire l'intégrabilité au sens de Lebesgue (c'est très classique même si c'est sûrement pas la seule façon de prouver l'intégrabilité au sens de Lebesgue dans ce cas).

Mais bon la difficulté sur ce genre de trucs c'est avant tout de maîtriser les définitions. C'est ça qui permet d'y voir clair ensuite.

Par ailleurs je vois que tu n'as pas proposé de preuve suite à mon message, ce qui montre qu'une fois de plus tu affirmes des trucs au hasard et donc tu n'as toujours pas compris en quoi consistent les mathématiques, ce qui nuit gravement à ta progression. Le jour où tu auras compris qu'en maths il vaut mieux dire "je ne sais pas" plutôt que de dire des trucs au hasard, et ainsi affirmer moins de choses mais savoir démontrer tout ce qu'on affirme, tu progresseras d'un bond de géant (je ne rigole pas, je le pense sincèrement).

Bib as-tu déjà eu un cours sur le calcul intégral de Lebesgue et la théorie de la mesure ?

Je commence à penser que ce n'est pas tant un problème de compréhension, qu'un manque évident de théorie.

Dis-moi si ce genre de théorème te dit quelque chose ou bien si ça t'est totalement étranger :

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $]a,b]$ et non définie en $a$. S'il existe $\theta<1$ tel que $\lim_{x\to a^+} (x-a)^{\theta} f(x)$ existe et est finie, alors la fonction est intégrable en $a$. (Tu peux calculer $\int_a^b f(x) dx$)

@Bib
Je viens de regarder ton raisonnement http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1565132,1565132#msg-1565132 . Ça coince ! pour éviter les problemes tu peux utiliser une astuce que tu maîtrises bien maintenant $ \varphi(x)=\varphi(0)+x\Psi(x)$, on écrit donc avec $Supp \varphi\subset [-a,a]$
$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): <h_n,\varphi>=\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{\sin(nx)}{x} \varphi(x)dx= \varphi(0)\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{\sin(nx)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{a} \sin(nx)\Psi(x)dx$

Il suffit de passer à la limite $n\to +\infty$

Comment l'intégrale d'une fonction positive peut donner un nombre négatif ?