Arccos (cos(x))

lisarowe · November 2017

Bonsoir,

Je cherche à montrer que f(x) = Arccos (cos(x)) est périodique de 2pi.
Je sais que si x appartient à [0, pi], f(x) = x
Et cos est periodique de 2pi, i.e cos (x+2pi) = cos (x)
Alors arccos(cos(x)) est périodique de 2pi. Est-ce que c'est une bonne justification?
Merci.

Poirot · November 2017

En tout as tu montres que $f(x + 2\pi) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb R$, reste à montrer que c'est bien la plus petite période de $f$.

lisarowe · November 2017

La plus petite période de cos(x) est 2pi donc par conséquent pour f(x) aussi? Je vois pas trop comment montrer ça:/

Poirot · November 2017

Il te manque un argument pour dire ça ! Je prends $g$ la fonction constante égale à $1$. Alors $f=g \circ \cos$ est bien périodique de période $2 \pi$ n'est-ce pas ? Mais ce n'est clairement pas la plus petite période de cette fonction...

lisarowe · November 2017

Je ne sais pas comment faire pour montrer ça

...

Poirot · November 2017

Bah là tu es quand même dans une situation particulière. Il faudrait que tu montres que si jamais $f(x+y)=x$ pour n'importe quel $x \in \mathbb R$, alors $y$ est un multiple de $2 \pi$.