Équivalent pour une série divergente

Bonsoir à toutes et à tous,
Je m'adresse ici aux spécialistes des équivalents (dont je ne fais pas partie), si il y en a ;-) je suis en train de rédiger une petite démo et je bloque sur un détail technique que je n'arrive pas à contourner, je ne sais pas si la question est faisable mais si vous avez des pistes je prends avec plaisir !

Soit une constante $K > 0$, je cherche à étudier le comportement, lorsque $x \to 0^{+}$, de la série divergente $$\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} K^j e^{-(x-1)2^j}$$ (la somme est bien divergente dès lors que $0 < x < 1$). Autrement dit, idéalement, je recherche un équivalent lorsque $x \to 0^+$ de la quantité ci-dessus. Je ne parviens ni à faire de bons encadrements, ni à utiliser de théorème "classique" pour cette série, je ne suis pas particulièrement à l'aise avec la divergence de la série.

Pour des raisons personnelles, j'aimerais que cette série se comporte comme $e^{1/x}$ au voisinage de $0^{+}$, mais c'est peut être faux et je ne parviens pas à le montrer...
Toute réponse contenant de l'écriture inclusive est aussi acceptée.

Merci d'avance à tous :-)