fonction périodique

Je dirais même plus : oui, pourquoi ? Il faudrait que tu saches le démontrer !

Je donne un indice (comme gebrane aime souvent le faire ;-)) : une fonction qui commence par un T, termine par un N, et contient la lettre A entre les deux. Et évidemment on prolonge, de manière discontinu forcément, sur $\R$ tout entier.

@ skyffer3
Je vais essayer de reformuler ta question, car je n'aime pas trop l'expression « période nulle » puisque trivialement $0$ est toujours période d'une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$

Une période d'une application $f $ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est un réel $T $ tel que, pour tout $x \in \mathbb R$ on ait : $f(x+T)=f(x)$. À ce compte-là, comme j'ai dit, $0$ est toujours période d'une application $f $ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, et l'ensemble des périodes de cette application est un sous-groupe additif de $\mathbb R$. La fonction $f$ est dite périodique si ce sous-groupe n'est pas réduit à $\{0\}$.

Tu cherches une fonction $f$ pour laquelle la borne inférieure des éléments strictement positifs de ce sous-groupe soit $0$, et qui ne soit pas bornée sur $\mathbb R$. C'est bien ça ?

On sait que les sous-groupes additifs $G$ de $\mathbb R$ sont de quatre types :
(1) $G=\mathbb R$ ; (2) $G=\{0\}$ ; (3) $G=\mathbb Z a, a>0$ ; (4) $G$ dense dans $\mathbb R$ et d'intérieur vide.

Il te faut donc une fonction $f$ dont le groupe des périodes soit de ce quatrième type. On peut en chercher du côté des solutions discontinues de l'équation de Cauchy-linéaire $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Une telle application est un endomorphisme du $\mathbb Q$-espace vectoriel $\mathbb R$. Si le groupe de ses périodes n'est pas $\{0\}$, alors ce groupe est le sous-espace propre associé à la valeur propre $ 1$ Le groupe de ses périodes est le noyau. Tu peux fabriquer de telles applications $f$ avec une base de Hamel de $\mathbb R$ sur $\mathbb Q$, et tu peux en fabriquer qui ne soient pas bornées, et en plus tu peux le faire peinard ;-) puisque le Pontifex Maximus de la Logique n'est heureusement plus là pour nous aboyer aux chausses quand on ose parler de ces questions.

Bien cordialement, et bonne journée.
Fr. Ch.

[small]L'automne, qui descend les collines voilées
fait sous ses pas profonds tressaillir notre cœur[/small]

Correction faite d'après la remarque de skyffer3, infra

J'ai dû mal comprendre, le groupe des périodes c'est pas plutôt le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$, plutôt que $1$ ?

Ah très joli (tu)