Ordre de DL max

Si c'est vraiment ça la question ça ressemble plus à une punition :-D Le théorème de Young nous dit que t'es pas près de trouver un $n$ auquel s'arrêter. Il n'empêche qu'on peut exprimer le DL d'ordre $n$ avec une formule (dépendante de $n$ évidemment). C'est justement le théorème que j'ai cité qui va te permettre de l'avoir.

Ah j'ai mal lu en plus, tu m'as induit en erreur en parlant de n limite. Ton énoncé ne dit pas ce qu'est $n$, en particulier il ne dit pas qu'il s'agit de l'ordre du DL, on dirait plutôt que ta fonction va dépendre de $n$, mais là je rejoins gerard0, l'énoncé est incomplet et n'a pas de sens en l'état.

Bah du coup non c'était pas complet, tu arrives à voir que tu ne viens pas de recopier le même énoncé ?
D'ailleurs ça ne l'est toujours pas, maintenant tu parles de g, avant tu parlais de f.

Pour le reste, théorème de Young, et récurrence pour calculer les dérivées (ou alors utilisation des formules de Taylor déjà connues).

Abilys a écrit:

On me demande de déterminer les valeurs de n pour lesquelles f(x) = racine(4+x) admet un DL quand x tend vers 0

Kekecekoi $n$ ? Où c'est marqué que c'est l'ordre du DL ?

Abilys a écrit:

Déterminer les valeurs de n pour lesquelles g admet un développement limité d’ordre n avec x au voisinage de 0.

Ahhhh, $n$ c'est bien l'ordre du DL.

Regarde les formules de Taylor si tu veux pas t'embêter à retrouver les formules de récurrence.

En plus l'énoncé n'a jamais demandé d'écrire le DL (en tout cas le dernier). Du coup théorème de Young et fini au revoir.

Je parle de celui-là, mais je ne vois pas en quoi il nécessite la connaissance des dérivées pour répondre à ta question.

Peux-tu citer son énoncé exact ?

Abilys a écrit:

Et je dois tout de même démontrer que elle est dérivable autant de fois que je le veux

C'est ça la clef, tu as un théorème sur la régularité des composées normalement.

@skyffer3 : je veux bien que tu m'expliques ce que Faa di Bruno fait ici. Il faut bien que Abilys38 dispose du fait que $u \mapsto u^{1/2}$ est indéfiniment dérivable sur $]0, +\infty[$ à un moment ! Pour ça c'est immédiat par récurrence en utilisant la continuité de $u \mapsto u^{\alpha}$ pour tout $\alpha \in \mathbb R$.

Moui, une translation c'est tout ce qu'il y a de plus bénin, pas besoin de Faa di Bruno pour ça ! Les taux d'accroissements sont justes "décalés" donc la dérivabilité à tout ordre est conservée.

Bah j'ai donné les ingrédients, si tu regardes $$\frac{h(x) - h(0)}{x},$$ où $h : x \mapsto f(x+4)$, la limite en $0$ existe si et seulement si la limite de $$\frac{f(x)-f(4)}{x-4}$$ existe en $4$, c'est-à-dire que $f$ est dérivable en $4$. Comme la dérivée de $x \mapsto f(x+4)$ sera $x \mapsto f'(x+4)$, on conclut immédiatement par récurrence.

Tout demande toujours une justification en maths. Quant au "clairement", c'est juste du vent. Je peux te sortir 10 énoncés faux où tu vas probablement me répondre que c'est clairement vrai :-D

Il était clairement vrai que des fonctions continues partout nulle part dérivables n'existaient pas, il était clairement vrai que la limite d'une suite de fonctions continues est continue, il était clairement vrai que toute fonction continue admet une pente à gauche et à droite en tout point, etc., et pour des gens pourtant très intelligents.

Vu la deuxième question, récurrence à la Poirot, ou développement limité classique de $(1+x)^a$ adapté comme il faut.

@Poirot : j'ai bien compris, mais c'est quand même dommage de ne pas voir un théorème général qui donne la régularité de la composée, je ne parle évidemment pas de la formule de Faa di Bruno elle-même qui ne sert à peu près ... jamais. Mais c'est vrai que j'aurais mieux fait de ne pas citer cette formule.

Comme ta fonction est indéfiniment dérivable, tu as des développements limités à tout ordre. Mais il n'y a pas un développement unique qui les regroupe tous ! Tu ne peux pas (en tout cas juste avec Taylor-Young) écrire $$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2}f''(0) + \dots$$