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Ordre de DL max

Envoyé par Abilys38 
Ordre de DL max
l’an passé
Bonjour,

On me demande de déterminer les valeurs de n pour lesquelles f(x) = racine(4+x) admet un DL quand x tend vers 0 (que je traduis par "au voisinage de 0"). Dans ces cas, fournir une expression du DL.

Je suis un peu perdu car pour moi, cette fonction est dérivable autant de fois que je le souhaite... Et la question laisse penser qu'il y a un n limite.

Qu'en pensez vous?

Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Abilys38.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Bonjour.

Quel est l'énoncé précis ?
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Si c'est vraiment ça la question ça ressemble plus à une punition grinning smiley Le théorème de Young nous dit que t'es pas près de trouver un $n$ auquel s'arrêter. Il n'empêche qu'on peut exprimer le DL d'ordre $n$ avec une formule (dépendante de $n$ évidemment). C'est justement le théorème que j'ai cité qui va te permettre de l'avoir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Si le $n$ désigne l'ordre du développement limité alors en effet la question est bizarre puisque ta fonction est de classe $\mathcal C^{\infty}$ au voisinage de $0$.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Ah j'ai mal lu en plus, tu m'as induit en erreur en parlant de n limite. Ton énoncé ne dit pas ce qu'est $n$, en particulier il ne dit pas qu'il s'agit de l'ordre du DL, on dirait plutôt que ta fonction va dépendre de $n$, mais là je rejoins gerard0, l'énoncé est incomplet et n'a pas de sens en l'état.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Bonjour,

Merci pour vos réponses !!

Malheureusement c'est complet...
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles g admet un développement limité d’ordre n avec x au voisinage de 0.


Ma seule idée était de démontrer une relation avec n effectivement, par récurrence. Le problème est que je n'ai pas trouvé de vraie relation.

Je n'ai pas mon brouillon avec moi, mais il me semble que:
f(n) (x) = K* ((x+4)^(-n + 1/2)) ou K est une constante qui varie.
Je n'ai pas trouvé mieux que cela.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Bah du coup non c'était pas complet, tu arrives à voir que tu ne viens pas de recopier le même énoncé ?
D'ailleurs ça ne l'est toujours pas, maintenant tu parles de g, avant tu parlais de f.

Pour le reste, théorème de Young, et récurrence pour calculer les dérivées (ou alors utilisation des formules de Taylor déjà connues).



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Pardon si ce n'est pas le cas mais il me semble que l'énoncé est le même dans les deux cas.

Donc une récurrence pourrait fonctionner? Il faudra que je revois mais la dernière fois, en testant sur dérivée 1ere, 2e, 3e et 4e, je ne trouvais pas un évolution liée à n de la constante.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Citation
Abilys
On me demande de déterminer les valeurs de n pour lesquelles f(x) = racine(4+x) admet un DL quand x tend vers 0
Kekecekoi $n$ ? Où c'est marqué que c'est l'ordre du DL ?

Citation
Abilys
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles g admet un développement limité d’ordre n avec x au voisinage de 0.
Ahhhh, $n$ c'est bien l'ordre du DL.

Regarde les formules de Taylor si tu veux pas t'embêter à retrouver les formules de récurrence.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Abylyss38,

tu as trouvé les valeurs de n; il n'y a pas de maximum, c'est toi qui voulais qu'il y en ait un, l'énoncé n'en parle pas.

Bonne fin de travail !
Re: Ordre de DL max
l’an passé
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En plus l'énoncé n'a jamais demandé d'écrire le DL (en tout cas le dernier). Du coup théorème de Young et fini au revoir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Autant pour moi alors.

Quand vous dites théorème de Young, vous parlez de quel théorème?
Car le seul que je connaisse est la formule de Taylor Young pour laquelle il est nécessaire de connaitre les différentes dérivées successives.

EDIT: Et je dois tout de même démontrer que elle est dérivable autant de fois que je le veux



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Abilys38.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
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Je parle de celui-là, mais je ne vois pas en quoi il nécessite la connaissance des dérivées pour répondre à ta question.

Peux-tu citer son énoncé exact ?

Citation
Abilys
Et je dois tout de même démontrer que elle est dérivable autant de fois que je le veux
C'est ça la clef, tu as un théorème sur la régularité des composées normalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Tu n'as qu'à procéder par récurrence pour montrer que $x \mapsto x^{\alpha}$ est indéfiniment dérivable en tout point de $\mathbb R^{+*}$.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
skyffer3 écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Effectivement! J'aurais du y penser plus tôt.
Pour le théorème : [www.bibmath.net] la première des formules.
Proposez-vous d'écrire seulement la somme des dérivées successives sans remplacer f par les valeurs respectives ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Non, je propose de ne pas écrire le DL du tout ! On te demande simplement de dire jusqu'à quel ordre il existe. La réponse, il existe pour tout ordre $n$, en vertu du théorème de Taylor-Young. Pour cela il faut juste montrer que ta fonction est indéfiniment dérivable en $0$, et la manière simple de régler le problème c'est de dire : en vertu de la formule de Faa di Bruno. Je ne connais pas un nom de théorème qui donne directement la régularité de la composée mais c'est de toute façon connu. Sinon tu le redémontres dans ce cas particulier avec l'indication de Poirot mais ça me paraît inutile.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
@skyffer3 : je veux bien que tu m'expliques ce que Faa di Bruno fait ici. Il faut bien que Abilys38 dispose du fait que $u \mapsto u^{1/2}$ est indéfiniment dérivable sur $]0, +\infty[$ à un moment ! Pour ça c'est immédiat par récurrence en utilisant la continuité de $u \mapsto u^{\alpha}$ pour tout $\alpha \in \mathbb R$.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Ah mais je prends ça comme acquis ! Moi je parle d'utiliser ça pour montrer que $x\mapsto (x+4)^{1/2}$ est indéfiniment dérivable en $0$. En gros quel théorème tu invoques pour dire que la composée de deux fonctions $C^k$ en $a$ est $C^k$ en $a$ ? Moi j'invoque Faa di Bruno faute de mieux grinning smiley
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Moui, une translation c'est tout ce qu'il y a de plus bénin, pas besoin de Faa di Bruno pour ça ! Les taux d'accroissements sont justes "décalés" donc la dérivabilité à tout ordre est conservée.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Haha, donc la dérivée à tout ordre est conservée eye rolling smiley Moi j'ai essayé de donner un nom de théorème grinning smiley Plus sérieusement, comme je disais c'est connu sans avoir besoin de citer un théorème, mais si je devais vraiment citer un truc j'ai rien d'autre que ça. N'empêche que c'est toujours mieux que de dire "c'est tout ce qu'il y a de plus bénin" smoking smiley



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Bah j'ai donné les ingrédients, si tu regardes $$\frac{h(x) - h(0)}{x},$$ où $h : x \mapsto f(x+4)$, la limite en $0$ existe si et seulement si la limite de $$\frac{f(x)-f(4)}{x-4}$$ existe en $4$, c'est-à-dire que $f$ est dérivable en $4$. Comme la dérivée de $x \mapsto f(x+4)$ sera $x \mapsto f'(x+4)$, on conclut immédiatement par récurrence.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Oui mais du coup tu traites uniquement ce cas particulier, alors que c'est vrai en toute généralité. Tu vas pas refaire une récurrence à chaque composée que tu croises rassure moi grinning smiley ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Question suivante:

Pour les valeurs de n auxquelles f admet un DL, fournir une expression de ce DL.

Du coup il faut bien le donner...

Par contre je ne connais pas ce théorème de Faa di Bruno.
Mais il me semblait en effet que même en 0, la fonction était clairement dérivable autant de fois qu'on le voulait, et que ça ne demandait pas vraiment de justification.

[Francesco Faà di Bruno, (1825-1888) prend toujours ses majuscules. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
@skyffer3 : je traite toutes les composées par une translation en une seule fois. Si tout le débat vient du fait que ce théorème ne porte pas de nom, ça ne me dérange pas plus que ça. Faa di Bruno c'est vraiment le marteau-pilon pour effrayer l'étudiant en plus...
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
Tout demande toujours une justification en maths. Quant au "clairement", c'est juste du vent. Je peux te sortir 10 énoncés faux où tu vas probablement me répondre que c'est clairement vrai grinning smiley

Il était clairement vrai que des fonctions continues partout nulle part dérivables n'existaient pas, il était clairement vrai que la limite d'une suite de fonctions continues est continue, il était clairement vrai que toute fonction continue admet une pente à gauche et à droite en tout point, etc., et pour des gens pourtant très intelligents.

Vu la deuxième question, récurrence à la Poirot, ou développement limité classique de $(1+x)^a$ adapté comme il faut.

@Poirot : j'ai bien compris, mais c'est quand même dommage de ne pas voir un théorème général qui donne la régularité de la composée, je ne parle évidemment pas de la formule de Faa di Bruno elle-même qui ne sert à peu près ... jamais. Mais c'est vrai que j'aurais mieux fait de ne pas citer cette formule.



Edité 4 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Merci pour votre aide. En fait je suis trop resté bêtement focalisé sur ma fonction...

Tout d'abord: (1+x)^? est de classe C infini sur ]-1; +D[ et par récurrence
f(n)(x) = ?(?-1)...(?-n+1)(1+x)^(?-n)
et f(n)(0) = ?(?-1)...(?-n+1)

En en déduit le DL(n) de (1+x)^? en 0.

Ici, f(x) = (4+x)^(1/2) = 2* (1+y)^(1/2) avec y = x/4

On fait le DL, on remplace par x/4, et le tour est joué...

Est ce que ça vous semble bon?

La question est: Pour quelles valeurs de n? Dans ces cas, fournir une expression. J'aime pas le "dans ces cas" comme si je devais en fournir plusieurs. Il me semble que je ne dois donner qu'un DL puisque f est de classe C infini.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Abilys38.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Comme ta fonction est indéfiniment dérivable, tu as des développements limités à tout ordre. Mais il n'y a pas un développement unique qui les regroupe tous ! Tu ne peux pas (en tout cas juste avec Taylor-Young) écrire $$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2}f''(0) + \dots$$
Re: Ordre de DL max
l’an passé
avatar
La question est mal posée, tu n'y peux rien. Il y a un DL unique à tout ordre, les DL d'ordre supérieur font apparaître ceux d'ordre inférieur. Pour le reste je n'ai pas vérifié tes calculs mais l'idée est là.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Bonjour,

Je reviens un peu tard sur cette question !!
J'ai donc déterminé le DL de f au voisinage de 0.

Un peu plus tard, une question est:
Utiliser la formule de Taylor à l'ordre 1 et montrer que racine(17) est dans l'intervalle ]4+1/10; 4+1/8[
Je ne comprends pas trop comment réaliser cette question ?

En effet, je sais que racine(17) = f(13) = f(0) + (f'(c)/2!) * 13² (si je ne me trompe pas ?) avec c appartient à ]0;13[
Mais ça ne me ramène pas à la solution...

Pour être plus précis, j'ai : f(13) = 2 + 169/(4*racine(4+c))
Donc 2 + 169/(4*racine(17)) < f(13) < 2 + 169/8 en remplaçant c par 0 et 13.

La cerise sur le gâteau est que cette inégalité est fausse...
J'en conclu que je n'ai pas compris quelque chose sur la formule de Taylor Lagrange !!
Merci beaucoup pour votre aide !

[Brook Taylor (1685-1731) et Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prennent toujours une majuscule. AD]



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Bonjour.

Tu te trompes sur la formule de Taylor-Lagrange.
Revois le théorème qui donne la formule de Taylor. Et si tu reviens, donne ici le théorème et son application à l'ordre 1.

Comme 13 n'est pas proche de 0, je pense qu'il ne s'agit pas d'utiliser f. Mais comme tu n'as pas donné ton énoncé entièrement et au mot près, je doute. D'autant que 4 (*) à beaucoup à voir avec la racine carrée de 16, nettement plus proche de 17 que 4.

Cordialement.

(*) celui de l'encadrement ]4+1/10; 4+1/8[
Re: Ordre de DL max
l’an passé
J

L'énoncé exact:

Utiliser la formule de Taylor–Lagrange à l’ordre 1 pour racine(4 + x) et calculer que ?17 est dans l’intervalle (*)


Comme je disais, je pense que j'ai mal compris la formule. Je ne vois pas ce que j'ai de faux dans mon précédent message, mais c'est faux...

Par contre, comment avoir un racine(17) dans mon calcul sans f(13)?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Abilys38.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
$\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$

Ton énoncé manque de sérieux, car pour avoir une approximation utile, il faut que l'on soit proche de la valeur cible. On peut même utiliser $\sqrt{16,81+x}$ puisque $4,1^2=16,81$.
J'attends toujours que tu donnes l'énoncé du théorème pour comparer avec ce que tu as fait ici.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Merci pour votre temps.

J'ai mis l'image de la formule. Je précise que c est un certain élement entre a et b non inclus. Je ne comprends toujours pas pourquoi mon inégalité faite deux messages plus haut est fausse (même si de toute façon elle ne permettra pas de répondre à la question).

Je précise que f(x) = racine(4+x) donc c'est bien f(13) = racine(17) et non f(16).
C'est pour ça que je voulais travailler avec f(13), ce qui est peu commode car un nombre premier ne permettra pas de revenir vers 4...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Abilys38.


Re: Ordre de DL max
l’an passé
Travaillons avec f(13).

Ta formule est à l'ordre ??? En effet, tu ne cites pas le théorème, tu extrais une formule de son contexte (conditions, signification, ..); autrement dit tu calcules sans savoir. Pour ça, on n'a pas besoin de toi, les ordinateurs le font bien plus rapidement et sans faute.

Donc la formule à l'ordre 1 est : ???
et pour b=13 et a=0, on obtient ....
Re: Ordre de DL max
l’an passé
A l'ordre 1, pour moi: f(b) = f(a) + ( f'(c)*(b-a)²/2! )
Donc: f(13) = f(0) + (13² * f'(c) / 2) avec c appartient à ]0;13[

Comme f(0) = racine(4) = 2
f'(c) = 1/(2*racine(c+4))

f(13) = 2 + (13²/2)* 1/(2*racine(c+4))
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Bon, tu continues à copier ce que tu as écrit, au lieu de répondre à mes questions, destinées à t'aider à rectifier ! Persiste dans l'erreur, puisque tu y tiens ...
Re: Ordre de DL max
l’an passé
J'ai essayé de répondre à vos questions:

Vous me demandez la formule à l'ordre 1: Je croyais que c'était: f(b) = f(a) + ( f'(c)*(b-a)²/2! )
Et pour ce qu'on doit obtenir, c'est ce que je cherche.

J'essaye bien de répondre à vos questions mais je pense ne pas avoir saisi quelque chose.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Tu n'as pas répondu à la première question, ensuite au lieu d'utiliser ton théorème, tu écris à nouveau ce qui est faux. Ton théorème est précis, pas toi ..

La première question concerne la formule de ton cours : quel est l'ordre du DL ?
Ensuite on verra, mais inutile de réécrire la même égalité fausse.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
L'ordre est n et le reste est n+1 ?
C'est à dire que la partie principale correspond à un DL d'ordre n, et le "reste" est ce qui remplace o(x^n)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Abilys38.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Donc ta formule à l'ordre 1 comprend les deux premiers termes (où f'(a) n'est pas multiplié par (b-a)²/2, plus le reste où apparaît effectivement un (b-a)²/2.
Applique la formule ....
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Ok donc f(a) + 13*f'(a) + f''(c)13²/2! ?

C'est à dire f(13) = 2 + 13/4 - 13²/(8*(4+c)^(3/2)) ? car f''(x) = -1/(4*racine(4+x)^(3/2)) si je ne me trompe pas

Je suis dans la bonne direction? Si oui je vais approfondir dans la journée !!

Merci pour votre aide en tout cas!!
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Oui, tu vas trouver un intervalle qui contient $\sqrt{17}$, mais ce n'est pas le bon.
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Cela signifie que je dois aller plus loin que l'ordre 1?
Ou alors une erreur de l'énoncé?
Re: Ordre de DL max
l’an passé
Dans les deux cas c'est une erreur de l'énoncé.

Graphiquement l'ordre 1 c'est approximer la courbe par sa tangente. ici, tu vas approximer la courbe de $x\mapsto \sqrt x$ par sa tangente en $A(4,2)$. Pour $x$ proche de 4, c'est tolérable, pour $x=17$ c'est n'importe quoi.

Bonne fin de soirée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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