Ordre de DL max
Bonjour,
On me demande de déterminer les valeurs de n pour lesquelles f(x) = racine(4+x) admet un DL quand x tend vers 0 (que je traduis par "au voisinage de 0"). Dans ces cas, fournir une expression du DL.
Je suis un peu perdu car pour moi, cette fonction est dérivable autant de fois que je le souhaite... Et la question laisse penser qu'il y a un n limite.
Qu'en pensez vous?
Merci
On me demande de déterminer les valeurs de n pour lesquelles f(x) = racine(4+x) admet un DL quand x tend vers 0 (que je traduis par "au voisinage de 0"). Dans ces cas, fournir une expression du DL.
Je suis un peu perdu car pour moi, cette fonction est dérivable autant de fois que je le souhaite... Et la question laisse penser qu'il y a un n limite.
Qu'en pensez vous?
Merci
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Réponses
Quel est l'énoncé précis ?
Merci pour vos réponses !!
Malheureusement c'est complet...
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles g admet un développement limité d’ordre n avec x au voisinage de 0.
Ma seule idée était de démontrer une relation avec n effectivement, par récurrence. Le problème est que je n'ai pas trouvé de vraie relation.
Je n'ai pas mon brouillon avec moi, mais il me semble que:
f(n) (x) = K* ((x+4)^(-n + 1/2)) ou K est une constante qui varie.
Je n'ai pas trouvé mieux que cela.
D'ailleurs ça ne l'est toujours pas, maintenant tu parles de g, avant tu parlais de f.
Pour le reste, théorème de Young, et récurrence pour calculer les dérivées (ou alors utilisation des formules de Taylor déjà connues).
Donc une récurrence pourrait fonctionner? Il faudra que je revois mais la dernière fois, en testant sur dérivée 1ere, 2e, 3e et 4e, je ne trouvais pas un évolution liée à n de la constante.
Ahhhh, $n$ c'est bien l'ordre du DL.
Regarde les formules de Taylor si tu veux pas t'embêter à retrouver les formules de récurrence.
tu as trouvé les valeurs de n; il n'y a pas de maximum, c'est toi qui voulais qu'il y en ait un, l'énoncé n'en parle pas.
Bonne fin de travail !
Quand vous dites théorème de Young, vous parlez de quel théorème?
Car le seul que je connaisse est la formule de Taylor Young pour laquelle il est nécessaire de connaitre les différentes dérivées successives.
EDIT: Et je dois tout de même démontrer que elle est dérivable autant de fois que je le veux
Peux-tu citer son énoncé exact ?
C'est ça la clef, tu as un théorème sur la régularité des composées normalement.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Effectivement! J'aurais du y penser plus tôt.
Pour le théorème : http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./t/taylorformules.html la première des formules.
Proposez-vous d'écrire seulement la somme des dérivées successives sans remplacer f par les valeurs respectives ?
Pour les valeurs de n auxquelles f admet un DL, fournir une expression de ce DL.
Du coup il faut bien le donner...
Par contre je ne connais pas ce théorème de Faa di Bruno.
Mais il me semblait en effet que même en 0, la fonction était clairement dérivable autant de fois qu'on le voulait, et que ça ne demandait pas vraiment de justification.
[Francesco Faà di Bruno, (1825-1888) prend toujours ses majuscules. AD]
Il était clairement vrai que des fonctions continues partout nulle part dérivables n'existaient pas, il était clairement vrai que la limite d'une suite de fonctions continues est continue, il était clairement vrai que toute fonction continue admet une pente à gauche et à droite en tout point, etc., et pour des gens pourtant très intelligents.
Vu la deuxième question, récurrence à la Poirot, ou développement limité classique de $(1+x)^a$ adapté comme il faut.
@Poirot : j'ai bien compris, mais c'est quand même dommage de ne pas voir un théorème général qui donne la régularité de la composée, je ne parle évidemment pas de la formule de Faa di Bruno elle-même qui ne sert à peu près ... jamais. Mais c'est vrai que j'aurais mieux fait de ne pas citer cette formule.
Tout d'abord: (1+x)^? est de classe C infini sur ]-1; +D[ et par récurrence
f(n)(x) = ?(?-1)...(?-n+1)(1+x)^(?-n)
et f(n)(0) = ?(?-1)...(?-n+1)
En en déduit le DL(n) de (1+x)^? en 0.
Ici, f(x) = (4+x)^(1/2) = 2* (1+y)^(1/2) avec y = x/4
On fait le DL, on remplace par x/4, et le tour est joué...
Est ce que ça vous semble bon?
La question est: Pour quelles valeurs de n? Dans ces cas, fournir une expression. J'aime pas le "dans ces cas" comme si je devais en fournir plusieurs. Il me semble que je ne dois donner qu'un DL puisque f est de classe C infini.
Je reviens un peu tard sur cette question !!
J'ai donc déterminé le DL de f au voisinage de 0.
Un peu plus tard, une question est:
Utiliser la formule de [large]T[/large]aylor à l'ordre 1 et montrer que racine(17) est dans l'intervalle ]4+1/10; 4+1/8[
Je ne comprends pas trop comment réaliser cette question ?
En effet, je sais que racine(17) = f(13) = f(0) + (f'(c)/2!) * 13² (si je ne me trompe pas ?) avec c appartient à ]0;13[
Mais ça ne me ramène pas à la solution...
Pour être plus précis, j'ai : f(13) = 2 + 169/(4*racine(4+c))
Donc 2 + 169/(4*racine(17)) < f(13) < 2 + 169/8 en remplaçant c par 0 et 13.
La cerise sur le gâteau est que cette inégalité est fausse...
J'en conclu que je n'ai pas compris quelque chose sur la formule de [large]T[/large]aylor [large]L[/large]agrange !!
Merci beaucoup pour votre aide !
[Brook Taylor (1685-1731) et Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prennent toujours une majuscule. AD]
Tu te trompes sur la formule de Taylor-Lagrange.
Revois le théorème qui donne la formule de Taylor. Et si tu reviens, donne ici le théorème et son application à l'ordre 1.
Comme 13 n'est pas proche de 0, je pense qu'il ne s'agit pas d'utiliser f. Mais comme tu n'as pas donné ton énoncé entièrement et au mot près, je doute. D'autant que 4 (*) à beaucoup à voir avec la racine carrée de 16, nettement plus proche de 17 que 4.
Cordialement.
(*) celui de l'encadrement ]4+1/10; 4+1/8[
L'énoncé exact:
Utiliser la formule de Taylor–Lagrange à l’ordre 1 pour racine(4 + x) et calculer que ?17 est dans l’intervalle (*)
Comme je disais, je pense que j'ai mal compris la formule. Je ne vois pas ce que j'ai de faux dans mon précédent message, mais c'est faux...
Par contre, comment avoir un racine(17) dans mon calcul sans f(13)?
Ton énoncé manque de sérieux, car pour avoir une approximation utile, il faut que l'on soit proche de la valeur cible. On peut même utiliser $\sqrt{16,81+x}$ puisque $4,1^2=16,81$.
J'attends toujours que tu donnes l'énoncé du théorème pour comparer avec ce que tu as fait ici.
J'ai mis l'image de la formule. Je précise que c est un certain élement entre a et b non inclus. Je ne comprends toujours pas pourquoi mon inégalité faite deux messages plus haut est fausse (même si de toute façon elle ne permettra pas de répondre à la question).
Je précise que f(x) = racine(4+x) donc c'est bien f(13) = racine(17) et non f(16).
C'est pour ça que je voulais travailler avec f(13), ce qui est peu commode car un nombre premier ne permettra pas de revenir vers 4...
Ta formule est à l'ordre ??? En effet, tu ne cites pas le théorème, tu extrais une formule de son contexte (conditions, signification, ..); autrement dit tu calcules sans savoir. Pour ça, on n'a pas besoin de toi, les ordinateurs le font bien plus rapidement et sans faute.
Donc la formule à l'ordre 1 est : ???
et pour b=13 et a=0, on obtient ....
Donc: f(13) = f(0) + (13² * f'(c) / 2) avec c appartient à ]0;13[
Comme f(0) = racine(4) = 2
f'(c) = 1/(2*racine(c+4))
f(13) = 2 + (13²/2)* 1/(2*racine(c+4))
Vous me demandez la formule à l'ordre 1: Je croyais que c'était: f(b) = f(a) + ( f'(c)*(b-a)²/2! )
Et pour ce qu'on doit obtenir, c'est ce que je cherche.
J'essaye bien de répondre à vos questions mais je pense ne pas avoir saisi quelque chose.
La première question concerne la formule de ton cours : quel est l'ordre du DL ?
Ensuite on verra, mais inutile de réécrire la même égalité fausse.
C'est à dire que la partie principale correspond à un DL d'ordre n, et le "reste" est ce qui remplace o(x^n)
Applique la formule ....
C'est à dire f(13) = 2 + 13/4 - 13²/(8*(4+c)^(3/2)) ? car f''(x) = -1/(4*racine(4+x)^(3/2)) si je ne me trompe pas
Je suis dans la bonne direction? Si oui je vais approfondir dans la journée !!
Merci pour votre aide en tout cas!!
Ou alors une erreur de l'énoncé?
Graphiquement l'ordre 1 c'est approximer la courbe par sa tangente. ici, tu vas approximer la courbe de $x\mapsto \sqrt x$ par sa tangente en $A(4,2)$. Pour $x$ proche de 4, c'est tolérable, pour $x=17$ c'est n'importe quoi.
Bonne fin de soirée.