Soit $ f: R \rightarrow R $ une fonction vérifiant $ f(x+y)=f(x)+f(y) $. Supposons f intégrable au sens de Lebesgue sur chaque intervalle compact de $R$ . Montrer que $f$ est linéaire ?
Quelqu'un peut-il m'aider pour résoudre ce problème ?
Merci beaucoup
Réponses
Ainsi, $\phi$ est continue sur $\mathbb{R}$ et donc $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}.$ Ainsi, il existe $\lambda$ appartenant à $\mathbb{R}$ tel que $\phi(x)=\exp(i\lambda x)$ ($\phi$ n'est pas l'application nulle et $\phi$ est bornée) d'où l'on tire que pour tout $x$, il existe $k(x)$ appartenant à $\mathbb{Z}$ tel que $$f(x)=\frac{\lambda}{2\pi}x+k(x).$$
Mais alors, vu que $f$ satisfait une certaine équation fonctionnelle, $k$ aussi i.e. $k(x+y)=k(x)+k(y).$ Sauf que $k$ est à valeurs dans les entiers relatifs... Supposons qu'il existe $x_{0}$ tel que $k(x_{0})\neq 0.$ Alors, on aurait en choisissant $(p,q)$ appartenant à $(\mathbb{N}^{*})^{2}$ tel que $p\wedge q=1$ et $q\wedge k(x_{0})=1$ que $pk(x_{0})=qk(\frac{p}{q}x_{0})$ soit $q$ divise $pk(x_{0})$... C'est une contradiction et le résultat est ainsi prouvé, à savoir $f$ est linéaire.
Soit $f$ telle que décrite. Puisque $f$ est intégrable sur $[0;1]$ il existe un compact $K\subset[0;1]$ de mesure $\geq 1-\varepsilon$ tel que $f_{|K}$ soit continue (c'est le théorème de Lusin). Maintenant sur $K+K$ on a bien $f(x+y)=f(x)+f(y)$ le membre de droite est continu et donc celui de gauche aussi. Par le théorème de Steinhaus on sait que $K+K$ contient un intervalle ouvert, on a donc $f$ continue sur un intervalle ouvert, cela suffit pour finir facilement.
Le problème est que quand z=x(z)+y(z) parcourt K+K rien n'assure que les fonctions x(z) et y(z) soient continues. (surligner pour voir le texte)
Si quelqu'un sait comment réparer ma preuve je suis preneur :-)
-Question plus hardue ardue (et toujours ouverte, il me semble en dimension $n\geq 2$) : Quelle est la dimension de Hausdorff maximale d'un sous-groupe strict de $\mathbb{R}^{n}.$
-Question amusante : Soit $\delta>0.$ Montrer qu'il existe une constante $C(\delta)>0$ telle pour tout ensemble $\mathcal{K}\subset \mathbb{R}$ (mesurable) de mesure de Lebesgue $\delta>0,$ il existe au plus $C(\delta)$ translatée de $\mathcal{K}$ qui recouvrent disons un intervalle de mesure plus grande que $1.$
La question ouverte en dimension plus grande que $2$ est un problème de Talagrand, où la mesure de Lebesgue est remplacée par disons la mesure gaussienne portée sur $\mathbb{R}^{n}$ et $\mathcal{K}$ est un convexe symétrique de mesure gaussienne strictement plus grande que $\delta.$
Ton problème est que c'est bien loin de la caractérisation séquentielle de la continuité.... Ce n'est pas si clair qu'une suite convergente de points de ton intervalle dans ce même intervalle peut-être la somme de deux suites d'éléments de $\mathcal{K}$ convergentes dans $\mathcal{K}.$
Il doit manquer un truc pour ta question amusante, si on prend $\mathcal K = \bigcup_{n=0}^{k}[2n;2n+1/k]$ on voit que ça ne peut pas marcher.
Pour la question ardue, je crois me souvenir d'avoir lu quelque part que les sous groupes strictes de $\mathbf R$ pouvait avoir une dimension de Hausdorff arbitraire $d\in ]0;1[$, mais je ne suis plus sûr.
Cela dit ce qu'on attend de toi sur cette question (si tu es étudiant) est sans doute beaucoup plus simple. Lorsque j'ai eu cet exo à faire une solution était d'intégrer $f(x+y)=f(x)+f(y)$ entre $y=-x$ et $y=-x+1$ de sorte que $\displaystyle f(x) = \int_0^1 f(t) \, \mathrm{d}t + \int_{-x}^{-x+1} f(t)\, \mathrm{d}t $. Le membre de droite est continu car $f$ est intégrable sur tout compact, donc $f$ est continue et tu es ramenée au cas que tu sais traiter !
J'avais mal lu...
dois-je montrer que la fonction est différentiable, puis Lebesgue mesurable puis continue en un point donc linéaire ? ou la démonstration de @Mickaël suffit ?
Merci
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Les lignes : Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)
$ \int_{0}^{1} f(x+y)dy = \int_{-x}^{1-x} f(y-t)dt + \int_{-x}^{1-x} f(t+x)dt $
n'est ce pas ?
On montre que f est linéaire sur $\Q$ et puisque f est continue et par densité de ...dans ... alors f est linéaire sur ...