Matrice hermitienne définie positive
dans Analyse
Bonjour,
Soit $A$ une matrice HDP [? Hermitienne Définie Positive ? AD] et $\alpha \in \mathbb{R}^+_*$. Montrer que la matrice $I_n + \alpha A$ est inversible, que le rayon spectral de la matrice $B := (I_n - \alpha A)(I_n + \alpha A )^{-1}$ est $< 1$ et que la matrice $B$ est hermitienne.
$A$ est hermitienne, donc normale, donc diagonalisable avec une matrice unitaire $Q$ telle que $A = QDQ^{-1}$ et $D$ contient les valeurs propres de $A$.
Nous avons donc $I_n + \alpha A = Q Q^{-1} + \alpha Q D Q^{-1} = Q (I_n + \alpha D) Q^{-1}$ ce qui permet de conclure que la matrice $(I_n + \alpha D)$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont de forme $1 + \alpha \lambda$ ($\lambda \in \lambda(A)$). Dans ce cas, $(I_n+\alpha A) ^{-1} = [Q (I_n + \alpha D) Q^{-1}]^{-1}$.
J'aimerais savoir comment en sont ils arrivés à ce résultat. Je ne comprends pas. Peut-être qu'un théorème m'échappe...
Merci d'avance...
[Évite les acronymes ? HDP=Hôpitaux De Paris ? qui obligent le lecteur à tenter de deviner ce que tu écris ! AD]
Soit $A$ une matrice HDP [? Hermitienne Définie Positive ? AD] et $\alpha \in \mathbb{R}^+_*$. Montrer que la matrice $I_n + \alpha A$ est inversible, que le rayon spectral de la matrice $B := (I_n - \alpha A)(I_n + \alpha A )^{-1}$ est $< 1$ et que la matrice $B$ est hermitienne.
$A$ est hermitienne, donc normale, donc diagonalisable avec une matrice unitaire $Q$ telle que $A = QDQ^{-1}$ et $D$ contient les valeurs propres de $A$.
Nous avons donc $I_n + \alpha A = Q Q^{-1} + \alpha Q D Q^{-1} = Q (I_n + \alpha D) Q^{-1}$ ce qui permet de conclure que la matrice $(I_n + \alpha D)$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont de forme $1 + \alpha \lambda$ ($\lambda \in \lambda(A)$). Dans ce cas, $(I_n+\alpha A) ^{-1} = [Q (I_n + \alpha D) Q^{-1}]^{-1}$.
J'aimerais savoir comment en sont ils arrivés à ce résultat. Je ne comprends pas. Peut-être qu'un théorème m'échappe...
Merci d'avance...
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Réponses
Peut être il n'a pas compris pourquoi $(I_n + \alpha A)$ est inversible ( à démontrer que ces valeurs propres sont non nulles !)
Désolée j'ai manqué de précisions.
C'est ça ! Je n'ai pas bien compris comment on pouvait conclure si "rapidement" que $(I_n+\alpha A)$ est inversible... Elle est diagonalisable OK, mais ça ne permet pas de dire qu'elle est inversible. Mais maintenant je crois comprendre que comme ses valeurs propres s'écrivent sous la forme $ 1+ \alpha \lambda$, alors il suffit que la condition $\alpha \neq -1/\lambda$ soit vérifiée ? Et comme A est définie positive, alors les valeurs propres de A sont positives...
1°) $I_n+\alpha A$ est non inversible si et seulement si $\alpha \neq 0$ et $-1/\alpha$ est valeur propre de $A$ (définition des valeurs propres).
2°) Puisque $A$ est définie positive, toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
3°) Donc, pour tout $\alpha >0$, $I_n+\alpha A$ est inversible.
Es-tu sûr que l'inversibilité de $I+\alpha A$, ça ne sert à rien ?