Intégration de Riemann
dans Analyse
Bonjour
J'ouvre ce fil car dans le livre Intégration et Applications, il manque la correction d'un exercice sur la convergence d'intégrales, et je bloque sur pas mal d'entre elles. Aussi, je vais en présenter plusieurs, mais pas toutes d'un coup. Je vous remercie par avance pour votre aide.
Voilà la première :$$\int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{dx}{x(1-x^3)^{2/3}}
$$ Je n'ai même pas d'idée sur sa convergence ou sa divergence.
J'ai essayé de la minorer par $\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^1} \dfrac{dx}{(1-x^3)^{2/3}}$ mais ça ne m'avance pas à grand chose, du moins je crois.
J'ouvre ce fil car dans le livre Intégration et Applications, il manque la correction d'un exercice sur la convergence d'intégrales, et je bloque sur pas mal d'entre elles. Aussi, je vais en présenter plusieurs, mais pas toutes d'un coup. Je vous remercie par avance pour votre aide.
Voilà la première :$$\int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{dx}{x(1-x^3)^{2/3}}
$$ Je n'ai même pas d'idée sur sa convergence ou sa divergence.
J'ai essayé de la minorer par $\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^1} \dfrac{dx}{(1-x^3)^{2/3}}$ mais ça ne m'avance pas à grand chose, du moins je crois.
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Réponses
Mais merci du conseil.
Tu n'as pas dit si la question est de déterminer la nature de cette intégrale ou d'en calculer la valeur si elle converge.
Ps: c'est modifié.
Si tu veux aller plus loin, tu peux calculer la valeur de cette intégrale par changement de variable, mais c'est une autre affaire. Pour l'instant, mieux vaut faire seulement ce qui est demandé.
l’intégrale est généralisée en quels points( sans faire de changement de variable)
ici c'est en 1 où on essaye de voir comment la fonction "explose" pour reprendre le terme de Poirot - et pour cela on essaye de se ramener via des DL ou équivalents à des fonctions connues genre intégrale de Riemann 99% du temps
Ensuite, pour $\dfrac{1}{(1-x)^{2/3}}$, en faisant cette fois ci le changement de variable $h=1-x$, je trouve qu'elle est intégrable car c'est $2/3<1$. Et donc ma fonction de départ est intégrable. Pfiouh.
La deuxième dont je n'arrive pas à déterminer la convergence ou la divergence est
Mais je vais chercher un peu, si je reviens ce sera avec des résultats!
Merci à vous pour votre aide en tout cas.
Réflexe numéro 2 : étudier la taille de la fonction près de ces points.
Réflexe numéro 3 : vérifier les estimations et employer un théorème correct pour conclure.
Car la fonction est équivalente en 0 à $\dfrac{e^x}{e^x-1}$. Donc les intégrales des fonctions sont de même nature, par le corollaire d'une proposition nommée Critère de comparaison.
j'aurais suivi la méthode de mister Poirot
(1) sur ]0;1] c'est continu donc oki
(1') en 0 y a un souci, le bas tend vers 0
(2) on évalue la "taille" du bas en 0 par des DL : e(x) -cos(x) = là on sait faire des DL faciles en 0
(3) on conclut selon ce que le 2 à donné
....
Avec les développements limités, que je prends d'ordre 1, on se retrouve avec du $\dfrac{1}{x}$, qui va diverger car la puissance de $x$ est $1$.
Merci.
Cependant je n'ai pas compris le truc en l'infini, la même majoration ne me permet pas de conclure. Je vois bien qu'elle tend vite vers zéro et que ça va bien se passer mais je ne sais pas comment procéder. Tout compte fait je ne comprends pas trop quel critère tu utilises, en faisant apparaître la racine au numérateur.
Cette « règle » n'est d'aucune utilité, elle n'est à juste titre au programme nulle part.
En $+\infty$, on a $$\lim_{x \to +\infty} x^2 \frac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})} =0$$ car $\lim_{x\to +\infty} x^2\sin(1/x^2)=1$. (Ceci est bien connu, à un changement de variables prêt c'est le classique $\sin(x)/x$ en zéro.) Ceci conclut l'intégrabilité en $+\infty.$
EDIT : Si la limite multipliée par $\sqrt{x}$ existe et est finie, ça vaut bien dire qu'il existe une constante $C$ telle que $|f(x)| \leq C/{\sqrt{x}}$ right ?
Moi je n'ai jamais exposé ni utilisé cette règle de toute ma carrière.
Quand ma fille est arrivée en Math. Sup., c'était la base du cours de son professeur. Mais ça n'a jamais figuré au programme.
Cyrano,après Roxanne, c'est le moment de l'aveu à Chaurien...
Et si ce n'est pas exagéré, ne me donnez pas la réponse, juste des pistes s'il vous plaît.
Pour ta nouvelle intégrale, même méthode que d'habitude, regarder ce qu'il se passe aux bornes, et c'est tout. On pourra utiliser judicieusement les croissances comparées ici.