J'aurais rédigé un peu différemment au voisinage de $0$, compte tenu du fait que l'intégrande n'est pas de signe constant.
J'aurais coupé l'intégrale en deux, entre $0$ et $1$ et entre $1$ et $+\infty$ par exemple.
La fonction $x\mapsto\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}$ est une fonction définie et continue sur $\R_+^\star$, elle est donc localement Riemann-intégrable.
Pour l'intégrale entre $0$ et $1$, la valeur absolue du sinus est majorée par $1$ et $\ln(1+\sqrt{x})$, qui est positif pour tout $x>0$, est équivalent à $\sqrt{x}$ lorsque $x$ tend vers $0$. L'intégrale $\displaystyle\int_0^1\dfrac 1{\sqrt{x}}dx$ est convergente, donc $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$ est absolument convergente, donc convergente.
Pour $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$, l'intégrande est une fonction qui est un $o(1/x^2)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, comme l'a souligné Cyrano.
Comme $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac 1{x^2}dx$ est l'intégrale d'une fonction positive convergente, notre intégrale est aussi convergente.
Finalement, $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$ est convergente.
Pour cette dernière intégrale, je trouve qu'elle n'a des chances de converger que si $a$ est strictement positif et si $\beta$ est compris entre 0 et -1 (strictement pour -1), car dans les autres cas elle se trouve divergente en 0. Donc ce qui m'intéresse, c'est son comportement en l'infini dans ce dernier cas.
Je pense qu'en utilisant les croissances comparées on peut affirmer qu'elle est équivalente à $e^{-ax}$ et conclure mais j'ai un doute.
En $0$, seul la puissance de $x$ joue sur l'intégrabilité. Pour ça, tu sais qu'une condition nécessaire et suffisante est que $\beta > -1$. Ensuite, en l'infini, il n'y a aucun chance d'intégrabilité si $a < 0$. Pour $a=0$ non plus car $\beta > -1$. Enfin pour $a > 0$, il faut utiliser les croissances comparées, mais ta fonction n'est pas équivalente à $\exp(-ax)$ en $+\infty$ (sauf pour $\beta=0$), je te laisse regarder ce que ça voudrait dire sinon !
Oui sinon la limite de $x^{\beta}$ serait 1... Mais les croissances comparées me disent que ça va bien tendre vers 0, seulement ça ne permet pas de conclure sur l'intégrabilité. Dois je trouver un équivalent?
L'équivalent tu l'as déjà, ça reste un équivalent usuel, encore faut-il savoir quand est-ce qu'il est intégrable ou non au voisinage de $+\infty$... Quelle autre méthode qu'un équivalent connais-tu ?
Le théorème d'Abel,
La multiplication par une puissance de $x$, regarder sa limite pour conclure
Les minorations/majorations dans le cadre des fonction positives
L'absolue convergence
Et je crois que c'est tout.
Je crois bien pouvoir appliquer le théorème d'Abel si $\beta$ est compris entre -1 et 0. Reste à étudier le cas $\beta$ supérieur à zéro.
Je m'intéresse à l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{\infty}}e^{-ax}x^{\beta}dx$, dans le cas où $a>0$ et $\beta>-1$, les autres cas ayant déjà été traités.
Par croissance comparée, nous avons $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 f(x)=0$, où $f$ est la fonction sous l'intégrale. Un critère du cours me dit alors que l'intégrale est convergente, car la puissance de $x$ utilisée, en l'occurence 2, est strictement supérieure à 1, et que la limite obtenue, ici 0, est $<+\infty$.
Ps: ci joint le fameux critère utilisé :
EDIT: le fichier doit être trop lourd, il ne passe pas. Mais c'est bien le fameux critère de Riemann, sans son nom ;-)
Une dernière pour la route, $\displaystyle{\int_1^{+\infty}}cos(t)^2 t^{-1}dt$
Je ne sais vraiment pas quel critère utiliser.
EDIT : je vois bien que le problème est en l'infini, mais je ne sais pas trop si le cosinus "diminue" assez l'aire pour rendre l'intégrale convergente. J'ai essayé une IPP mais sans résultat.
$\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\cos^2(x)}{x}dx=\int_1^{+\infty}\dfrac{1-\cos(2x)}{x}dx$. J'en vois une (en séparant) qui diverge, et l'autre qui converge, donc la différence diverge, sauf erreur.
Edit : $\displaystyle{\int_1^{+\infty}}\dfrac{\cos(2x)}{x}dx$ converge par le théorème d'Abel.
Edit 2 : Pour Poirot, le théorème d'Abel que j'invoque est en page 9 de ce lien.
Réponses
Pour l'intégrale, je m'y colle je m'y colle.
J'aurais coupé l'intégrale en deux, entre $0$ et $1$ et entre $1$ et $+\infty$ par exemple.
La fonction $x\mapsto\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}$ est une fonction définie et continue sur $\R_+^\star$, elle est donc localement Riemann-intégrable.
Pour l'intégrale entre $0$ et $1$, la valeur absolue du sinus est majorée par $1$ et $\ln(1+\sqrt{x})$, qui est positif pour tout $x>0$, est équivalent à $\sqrt{x}$ lorsque $x$ tend vers $0$. L'intégrale $\displaystyle\int_0^1\dfrac 1{\sqrt{x}}dx$ est convergente, donc $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$ est absolument convergente, donc convergente.
Pour $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$, l'intégrande est une fonction qui est un $o(1/x^2)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, comme l'a souligné Cyrano.
Comme $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac 1{x^2}dx$ est l'intégrale d'une fonction positive convergente, notre intégrale est aussi convergente.
Finalement, $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$ est convergente.
Elle a quarante-deux ans, ma fille, ce n'est pas Roxane... :-)
Pour cette dernière intégrale, je trouve qu'elle n'a des chances de converger que si $a$ est strictement positif et si $\beta$ est compris entre 0 et -1 (strictement pour -1), car dans les autres cas elle se trouve divergente en 0. Donc ce qui m'intéresse, c'est son comportement en l'infini dans ce dernier cas.
Je pense qu'en utilisant les croissances comparées on peut affirmer qu'elle est équivalente à $e^{-ax}$ et conclure mais j'ai un doute.
Merci d'avance pour votre avis sur la question.
Le théorème d'Abel,
La multiplication par une puissance de $x$, regarder sa limite pour conclure
Les minorations/majorations dans le cadre des fonction positives
L'absolue convergence
Et je crois que c'est tout.
Je crois bien pouvoir appliquer le théorème d'Abel si $\beta$ est compris entre -1 et 0. Reste à étudier le cas $\beta$ supérieur à zéro.
En multipliant par $x^2$, la limite est 0, comme 2>1 et 0<$\infty$, l'intégrale est convergente.
Par croissance comparée, nous avons $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 f(x)=0$, où $f$ est la fonction sous l'intégrale. Un critère du cours me dit alors que l'intégrale est convergente, car la puissance de $x$ utilisée, en l'occurence 2, est strictement supérieure à 1, et que la limite obtenue, ici 0, est $<+\infty$.
Ps: ci joint le fameux critère utilisé :
EDIT: le fichier doit être trop lourd, il ne passe pas. Mais c'est bien le fameux critère de Riemann, sans son nom ;-)
Je ne sais vraiment pas quel critère utiliser.
EDIT : je vois bien que le problème est en l'infini, mais je ne sais pas trop si le cosinus "diminue" assez l'aire pour rendre l'intégrale convergente. J'ai essayé une IPP mais sans résultat.
Quand tu dis linéariser c'est utiliser les formules de De Moivre d'Euler c'est bien ça?
EDIT : oups désolé j'avais pas vu qu'on était en page 2 ... sorry
$\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\cos^2(x)}{x}dx=\int_1^{+\infty}\dfrac{1-\cos(2x)}{x}dx$. J'en vois une (en séparant) qui diverge, et l'autre qui converge, donc la différence diverge, sauf erreur.
Edit : $\displaystyle{\int_1^{+\infty}}\dfrac{\cos(2x)}{x}dx$ converge par le théorème d'Abel.
Edit 2 : Pour Poirot, le théorème d'Abel que j'invoque est en page 9 de ce lien.