Intégration de Riemann

J'aurais rédigé un peu différemment au voisinage de $0$, compte tenu du fait que l'intégrande n'est pas de signe constant.
J'aurais coupé l'intégrale en deux, entre $0$ et $1$ et entre $1$ et $+\infty$ par exemple.
La fonction $x\mapsto\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}$ est une fonction définie et continue sur $\R_+^\star$, elle est donc localement Riemann-intégrable.
Pour l'intégrale entre $0$ et $1$, la valeur absolue du sinus est majorée par $1$ et $\ln(1+\sqrt{x})$, qui est positif pour tout $x>0$, est équivalent à $\sqrt{x}$ lorsque $x$ tend vers $0$. L'intégrale $\displaystyle\int_0^1\dfrac 1{\sqrt{x}}dx$ est convergente, donc $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$ est absolument convergente, donc convergente.
Pour $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$, l'intégrande est une fonction qui est un $o(1/x^2)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, comme l'a souligné Cyrano.
Comme $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac 1{x^2}dx$ est l'intégrale d'une fonction positive convergente, notre intégrale est aussi convergente.
Finalement, $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(1/x^2)}{\ln(1+\sqrt{x})}dx$ est convergente.

@ Toborockeur
Elle a quarante-deux ans, ma fille, ce n'est pas Roxane... :-)

En $0$, seul la puissance de $x$ joue sur l'intégrabilité. Pour ça, tu sais qu'une condition nécessaire et suffisante est que $\beta > -1$. Ensuite, en l'infini, il n'y a aucun chance d'intégrabilité si $a < 0$. Pour $a=0$ non plus car $\beta > -1$. Enfin pour $a > 0$, il faut utiliser les croissances comparées, mais ta fonction n'est pas équivalente à $\exp(-ax)$ en $+\infty$ (sauf pour $\beta=0$), je te laisse regarder ce que ça voudrait dire sinon !

L'équivalent tu l'as déjà, ça reste un équivalent usuel, encore faut-il savoir quand est-ce qu'il est intégrable ou non au voisinage de $+\infty$... Quelle autre méthode qu'un équivalent connais-tu ?

Je ne sais pas ce que tu appelles théorème d'Abel. La seconde méthode semble bien adaptée ici, tu ne trouves pas ?

L'idée est là, mais ta justification n'est absolument pas claire. Pourrais-tu faire une rédaction propre ?

Ça devient clair s'il dit qu'il utilise le critère de Riemann pour les intégrales généralisées ;-)

Pour la dénomination par exemple http://emaths.education/cours/criteres-de-riemann/

Linéarise le $\cos^2(t)$ pour tomber sur l’intégrale de Dirichlet

C'est exprimer $\cos^2$ linéairement en fonction de $\cos$ (ou presque).