Intégrales généralisées

Ryka · November 2017

Voilà un exo sur lequel je bloque :
1) Montrer que int_0^2 cosx/x dx ne converge pas.
Pour ça je me suis placée en 0 (car la fonction nest pas continue en 0) J'ai trouvé un équivalent en 0 de cosx/x, c'est 1/x et j'ai montré que la limite en 0 de cet équivalent vaut +l'infini donc l'intégrale de 0 à 2 de cosx/x ne converge pas. Vous en pensez quoi ?

Après 2) a) on demande de justifier que int_1^{+l'infini} arctanx/x^3 dx est convergente. Là je suis bloquée.

b) Justifier rigoureusement que int_1^{+infini} arctanx/x^3 dx vaut pi/8 + 1/2 int_1^{+infini} 1/(x^2(1+x^2)) dx Idem

3) Déterminer une primitive de lnx/xe^{-lnx}^2.

Poirot · November 2017

1) Et toi tu en penses quoi ? Quel théorème te permet de passer de la non intégrabilité en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{x}$ à celle de $x \mapsto \frac{\cos x}{x}$ ?

2)a) En quelle borne y a-t-il problème ? Une fois que tu as identifié le problème la réponse est simple

b) Ça sent l'IPP non ?

3) C'est illisible.

rakam · November 2017

Bonsoir !
Le 1) ne va pas du tout : ce n'est pas parce que tu as un équivalent de limite infinie que tu peux conclure pour la convergence !

Poirot · November 2017

En effet, j'avais mal lu, c'est pire que de passer de la non-intégrabilité de $1/x$ en $0$ à celle de $cos(x)/x$. On ne peut pas dire qu'une fonction n'est pas intégrable au voisinage de $0$ simplement parce qu'elle y admet une limite infini ! Par exemple $x \mapsto \ln x$ est intégrable au voisinage de $0$...

Cyrano · November 2017

Rappel d'un critère "classique" de non-intégrabilité en $a \in \R$.
Une fonction $f$ continue sur un intervalle de type $]a,b]$ est non-intégrable en $a^+$ si $$\lim_{x\to a^+} (x-a)f(x)$$ existe et est non nulle. (Mais peut valoir l'infini.)

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