M une variété Hausdorff et à base dénombrable

Salut, si tu prends un point dans chaque ouvert de ta base, que tu réunis tous ces points en une suite dénombrable $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ alors chaque $x_{n}$ admet une base de voisinage dénombrable $(B_{k}^{n})_{k \in \mathbb{N}}$(c'est à dire que tout ouvert contenant $x_{n}$ contient un $B_{k}^{n}$.). c'est possible car $M$ est localement homéomorphe à un $\mathbb{R}^{d}$. Quitte à les réduires on peut supposer que se sont des cartes locales.

Or $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite dense par construction donc $\bigcup_{(n, k) \in \mathbb{N}^{2}}\{B_{k}^{n}\}$ est un atlas dénombrable.

Qui dit atlas dit recouvrement ouvert de la variété.

Or on sait (voir ici) que tout espace topologique à base dénombrable est tel qu'un recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

Dans le cas d'une variété cette propriété permet trivialement d'obtenir un atlas dénombrable à partir d'un atlas quelconque.