Le signe d'un produit de série.

tomy · November 2017

On définit ces deux séries pour $ i \neq j \in \mathbb{N}^{*^{2}}$:
\begin{align*}
A&=\sum \limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} n^{-a} \cos\big(b \ln(n)\big) \ln(n)^{i} \\
B&=\sum \limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} n^{-a} \cos \big(b \ln(n)\big) \ln(n)^{j}

\end{align*} où $a \in ]0;1[$ et $b \in \mathbb{R}$. Considérer $b \in \mathbb{R}^{+}$ me suffit aussi.
Comment connaître le signe du produit $AB$ ?

Les séries convergent. Mais si vous avez aussi des arguments courts pour le prouver, je suis preneur.

Dom · November 2017

Préciser $a$, $b$ serait pertinent.

Si l'une des série converge absolument, on peut tenter un produit de Cauchy.

J'ai cru à une alternance de signe, puis par réflexe, à une série alternée (c'est à dire avec décroissance du module du terme général) mais le cosinus a failli me piéger...

gebrane · November 2017

mais c'est la même sérié il n y a que le i qui change, donc A=A_i et B= A_j

tomy · November 2017

Merci Dom. C'est fait.
J'ai aussi pensé au produit de Cauchy mais elles ne sont pas absolument convergentes.
Je ne sais comment faire aujourd'hui.

Le but est de montrer qu'elles ont le même signe. Le produit positif le montrerait.

Je bute sur ce type de série ni alternée ni à termes positifs depuis un temps.

Va falloir que je prenne sans doute le temps et la concentration de prendre un chemin différent que les techniques connues classiques d'analyse.

reuns · November 2017

Etudier $\eta(s) =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$ donc $\zeta(s)$ ou ses parties réelles ou imaginaires ou ses dérivées dans $\Re(s) \in [0,1]$ c'est évidemment très compliqué.

Pour un $b,i,j$ donné les séries convergent absolument en groupant les termes par deux, donc on peut les calculer avec une précision arbitraire et parler du signe (à condition que la valeur ne soit pas zéro)

mais pour parler de $b,i,j$ en général il faut se plonger dans Titchmarsh.

tomy · November 2017

Tu veux dire quoi stp reuns par "pour un b, i, j donné? Ils sont pas déjà... donnés?

Tu peux pas les considérer comme euh... individuels? Ou individuellement donnés?

Comment grouper les termes deux par deux stp?

Désolé pour mes lacunes de jargon...

reuns · November 2017

Pour $\Re(s) > 0$

$(1-2^{1-s}) \zeta(s) = \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s} = \sum_{n=1}^\infty (2n-1)^{-s} - (2n)^{-s} =\sum_{n=1}^\infty \int_{2n-1}^{2n} s x^{-s-1}dx$

cette dernière série et toutes ses dérivées convergent absolument et sont analytiques.

Parler de $\eta(s)$ ce n'est pas pareil que de parler de $\eta(1/2+14i)$.

tomy · November 2017

bah écoute
je vais te dire une bonne chose:
résous les problèmes soulevés en une seule fois car tu le peux
là c'est le dialogue de sourds depuis ce matin entre nous deux et j'ai reculé car tu ne prends jamais en compte ce que je te dis...
ou tu le prends en compte puis tu balances ta science sans expliquer les détails qui sont en fait la base de la compréhension mathématique...
fais en sorte de ne plus être sollicité?
allez on va dire que c'est de ma faute?
difficile l'ambiance ici
pas très sereine
je pense que les gens avancent vraiment en fait ici
bye

tomy · November 2017

et j'ai beau chercher "convergence absolue de zeta"

aucun résultat l'affirmant sur le net en sites sérieux...

reuns · November 2017

Personne ne peut deviner ce que tu comprends et ce que tu ne comprends pas. Au départ tu parles de RH puis on se rend compte qu'en fait tu ne sais pas faire le prolongement analytique de $\zeta(s)$.

$\int_{2n-1}^{2n} |s x^{-s-1}dx| \le |s n^{-s-1}|$ et $\sum_{n=1}^\infty |s n^{-s-1}|$ converge pour $\Re(s) > 0$.

Ensuite la dérivée $k$-ème (bien définie puisque $\eta(s)$ est analytique)

$\eta^{(k)}(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}(-\log n)^k$ et $\Re((-1)^k \eta^{(k)}(\sigma+it)) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-\sigma}(\log n)^k \cos(t \log n)$

tomy · November 2017

"Personne ne peut deviner ce que tu comprends et ce que tu ne comprends pas." selon reuns aujourd'hui.

Deux réponses me viennent:
Comment oser croire que quelque chose est impossible? Comment le prouver vraiment? Ce n'est que se priver. Ce n'est pas forcément l'objet du lieu que de débattre de cela.
Le contraire de ta phrase formerait un excellent professeur. Ce serait même la base de la pédagogie. (J'ai été prof de toutes les sciences dites dures... bref)

Et puis simplement cela, tiré du bas de la page wiki sur l'hypothèse de Riemann:
"4. Mais si 0 < Re(s) < 1, la convergence (évidemment non absolue) est excessivement lente ; cette série, sous cette forme, ne permet absolument pas le calcul numérique de zêta ; il est heureusement possible de la transformer grâce à la formule d'Euler-Maclaurin pour obtenir une convergence rapide."

Et c'est vrai.

reuns · November 2017

T'as compris ce que j'ai écrit ou pas ? Si oui alors tu peux justement calculer la vitesse de convergence, qui est lente mais pas excessivement non plus.

tomy · November 2017

Ouaip j'ai tout compris de ce que tu as dit depuis nos contacts sur ce forum sans jamais avancer et c'est pas grave.

Et la vitesse de convergence dont tu parles ne m'aiderait, me semble-il, pas.

Merci de tous tes efforts tout de même car tu réponds tout de même, et assez sérieusement.

reuns · November 2017

Le fait que tu n'écrives aucune formule et que tu n'essayes pas de calculer la vitesse de convergence me convainc plutôt du fait que tu n'as pas compris.

En gros en maths, au delà des questions de départ, il faut montrer ce qu'on a compris et par déduction les gens peuvent deviner ce qu'on n'a pas compris.

gerard0 · November 2017

C'est bizarre, ces questionneurs qui eng.. ceux qui essaient de leur répondre. Dans 99% des cas, c'est parce qu'ils ne comprennent pas de quoi ils parlent, ce qui fait qu'ils ont l'impression qu'on se moque d'eux; à tort. le 1% qui reste es essentiellement fait de gens qui ne s'expliquent pas, puis se fâchent parce qu'on parle de ce qu'ils savent déjà mais qu'ils ont caché.
Tomy ferait bien de montrer qu'il fait partie de ce 1%, et de s'expliquer complétement, au lieu de monter sur ses grands chevaux. Cette attitude n'est pas sérieuse.

tomy · November 2017

Ou alors on apporte que des trucs vrais permettant vraiment d'avancer en prenant en compte les véritables pistes et on arrete d'attendre que l'on fournisse des choses déplacées de la question initiale de ce premier post
Qui comme tous les autres posts de ma part et aussi en réalité d'ici n'ont jamais eu de réponse valable..

Je quitte donc ce forum arrete d'espérer des cons la moindre intelligence et vous propose de réfléchir à vous

Et je n'ai pas besoin de dire qui je suis puisque tu l'as lu.

Je vais donc être génial comme là où j'existe vraiment, disparaître pour être.

Le meilleur mathématicien, c'est moi car je n'en ai plus besoin (de maths). Acquiers ce stade et on pourra être potes.
Pour trouver des maths pour fournir à ces cons d'américains de quoi m'estimer pour qu'ils m'écoutent et arrêtent de polluer, je suis obligé de descendre de niveau. Et c'est insupportable.
Et tu constateras par toi-même.

À vos colères? Rages? Énervements? Non prises en compte? Bannissements? Furies? Plaintes? Jugements? Jeux compensatoires? Condescendances? Pitiés? Estimations de ce que je devrais faire parlant de vous sans vous en rendre compte?

Je me bats de la vitesse de cv ça n'apporte Rien à la solution.

Pas la peine de proposer des choses qui ne mènent à Rien.

Shah d'Ock · November 2017

Waw t'es pas content on dirait.

gebrane · November 2017

Dans ce Forum, on ne donne, presque, jamais une solution détaillée. (Donner une solution détaillée :c'est même le contre principe de ce Forum). Il faut s'attendre qu'on te propose une piste qui peut mener à une solution ou non. C'est en débattant les idées des autres , qu'on puisse avancer dans la question.

Si tu constantes des réponses hors sujet ou inutiles , c'est que ton problème est mal compris ou tellement profond qu'on ne voit sa complexité que si tu prends la peine d'amorcer le débat.

Ton énervement montre que tu ne cherchais qu'une réponse à ton gout sur un plat argenté.